小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10导数的综合运用1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．【答案】(1e,1)【解析】解：f'(x)=2lna⋅ax−2ex，因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上递减，在(x1,x2)上递增，所以当x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)时，f'(x)<0，当x∈(x1,x2)时，f'(x)>0，若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点， 0<a<1,∴函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，又 lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lna⋅ax0)，则切线的斜率为g'(x0)=ln2a⋅ax0，故切线方程为y−lna⋅ax0=ln2a⋅ax0(x−x0)，则有−lna⋅ax0=−x0ln2a⋅ax0，解得x0=1lna，则切线的斜率为ln2a⋅a1lna=eln2a，因为函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，所以eln2a<e，解得1e<a<e，又0<a<1，所以1e<a<1，综上所述，a的范围为(1e,1).2、【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com同理,所以.故答案为：3、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递...
