试卷第1页，共3页2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．复数的虚部是（）A．B．C．D．3．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．694．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．已知向量，满足，，，则（）A．B．C．D．6．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A．B．C．D．7．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）试卷第2页，共3页A．6+4B．4+4C．6+2D．4+28．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．29．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+10．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（）A．1B．2C．4D．811．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b二、填空题12．若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．13．的展开式中常数项是（用数字作答）．14．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．15．关于函数f（x）=有如下四个命题：试卷第3页，共3页①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．三、解答题16．设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．17．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400试卷第4页，共3页空气质量好空气质量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．19．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．20．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．试卷第5页，共3页21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.（1）求||：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.22．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．答案第1页，共2页《2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）》参考答案题号12345678910答案CDCBDACDDA题号11答案A1．C【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2．D【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题....