小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题20数列不等式恒成立与存在性问题大题考点一由数列不等式恒成立求参数【基本题型】[例1]已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列前n项的和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．解析(1)设公差为d，由已知得解得d＝1或d＝0(舍去)，所以a1＝2，所以an＝n＋1．(2)因为＝－，所以Tn＝＋＋…＋－＝－＝，又λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，所以λ≤＝2＋8，而2＋8≥16，当且仅当n＝2时等号成立．所以λ≤16，即λ的最大值为16．[例2]已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；(2)设Kn为数列{anbn}的前n项和，若不等式λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．解析(1)设数列{an}的公差为d，则解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，所以an＝n＋1，Sn＝．bn＝2n，Tn＝2n＋1－2．(2)由题意得Kn＝2×21＋3×22＋…＋(n＋1)×2n，①则2Kn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，②①－②得－Kn＝2×21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1，∴Kn＝n×2n＋1．要使λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，即λ≥＝恒成立，设g(n)＝，因为＝＝<<1，所以g(n)随n的增加而减小，所以g(n)max＝g(1)＝，所以当λ≥时不等式恒成立，因此λ的最小值为．[例3](2021·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn．若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．解析(1)因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，两式相减可得4an＋1＝3an，即＝．当n＝1时，4S2＝4＝－－9，解得a2＝－，所以＝．所以数列{an}是首项为－，公比为的等比数列，所以an＝－×＝－．(2)因为3bn＋(n－4)an＝0，所以bn＝(n－4)·．所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－4)·，①小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)·＋(n－4)·，②①－②得Tn＝－3×＋＋＋…＋－(n－4)·＝－＋－(n－4)·＝－n·，所以Tn＝－4n·．因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，所以－4n·≤λ(n－4)·恒成立，即－3n≤λ(n－4)恒成立．当n＜4时，λ≤＝－3－，此时λ≤1；当n＝4时，－12≤0恒成立；当n>4时，λ≥＝－3－，此时λ≥－3．所以－3≤λ≤1，即实数λ的取值范围为[－3，1]．[例4]数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，19成等差数列．(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝log3(an＋2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围．解析(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*中，令n＝1，得2S1＝a2－22＋1，即a2＝2a1＋3，①又2(a2＋5)＝a1＋19，②．则由①②解得a1＝1．(2)当n≥2时，由③－④得2an＝an＋1－an－2n，则＋1＝，又a2＝5，则＋1＝．∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴＋1＝×n－1，即an＝3n－2n．(3)由(2)可知，bn＝log3(an＋2n)＝n．当bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立时，即(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6<0(n∈N*)恒成立．设f(n)＝(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6(n∈N*)，当λ＝1时，f(n)＝－n－6<0恒成立，则λ＝1满足条件；当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ>1时，由于对称轴n＝－<0，则f(n)在[1，＋∞)上单调递减，f(n)≤f(1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞)．[例5]设函数f(x)＝＋(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f()，n∈N*，且n≥2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．解析：(1)由an＝f()得，an－an－1＝，n∈N*，n≥2，所以{an}是首项为1，公差为的等差数列．所以an＝1＋(n－1)＝，n∈N*．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免...