小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题01导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝2．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝；(3)y＝xsincos；(4)y＝ln(2x－5)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com解析(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx．(2)y′＝′＝＝－．(3) y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x．(4)令u＝2x－5，y＝lnu．则y′＝(lnu)′u′＝·2＝，即y′＝．[例2](1)(2020·全国Ⅲ)函设数f(x)＝．若f′(1)＝，则a＝________．答案1解析f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝．答案－解析 f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝．∴f(x)＝2x2－x＋lnx，∴f(1)＝2－＝－．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx答案C解析 f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现， 2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx．故选C．(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函的是数()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝x3＋2x－1D．f(x)＝xex答案AB解析对于A：f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx， x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB．(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是()A．x2－xlnx＋xB．x2－xlnx－xC．x2＋xlnx＋xD．x2＋2xlnx＋x答案C解析由选项知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得＝1＋，即′＝1＋，故＝x＋lnx＋c(c为待定常数)，即f(x)＝x2＋(lnx＋c)x．又f(1)≥1，则c≥0，故选C．【对点训练】1．下列求导运算正确的是()A．′＝1＋B．(log2x)′＝C．(5x)′＝5xlog5xD．(x2cosx)′＝－2xsinx1．答案B解析(log2x)′＝，故B正确．2...