小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题26单变量型三角形面积最值问题最值问题——构造函数最的基本解法有几何法和代法：几何法是根据已知的几何量之的相互系、平面几何和值问题数间关解析几何知加以解的识决(如抛物上的点到某定点和焦点的距离之和、光反射等线个线问题)；代法是建数立求解目于某或量的函，通求解函的最普通方法、基本不等式方法、方法等标关个两个变数过数值导数解的．决【例题选讲】[例1]在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．[破题思路]题干中给出直线l过点(－2，0)，可设出直线l的方程，利用弦长公式求|MN|，利用点到直线的距离求d，从而可求△F2MN的面积，要求△F2MN面积的最值，需建立相关函数模型求解．[规范解答](1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．设椭圆E的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为＋＝1．又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1．(2)由于点(－2，0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．由Δ>0，得0≤k2<，从而x1＋x2＝，x1x2＝，∴|MN|＝|x1－x2|＝2·． 点F2(1，0)到直线l的距离d＝，∴△F2MN的面积S＝|MN|·d＝3．令1＋2k2＝t，则t∈[1，2)，∴S＝3＝3＝3＝3，当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±．∴当直线l的斜率为±时，可使△F2MN的面积最大，其最大值为．[例2]已知O为坐标原点，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆＋＝1上的点，且x1x2＋2y1y2＝0，设动点P满足OP＝OM＋2ON．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：y＝x＋m(m≠0)与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．[规范解答](1)设点P(x，y)，则由OP＝OM＋2ON，得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2．因为点M，N在椭圆＋＝1上，所以x＋2y＝4，x＋2y＝4．故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．又因为x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋2y2＝20．(2)将曲线C与直线l的方程联立，得消去y得3x2＋4mx＋2m2－20＝0．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为直线l与曲线C交于A，B两点，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以Δ＝16m2－4×3×(2m2－20)＞0．又m≠0，所以0＜m2＜30，x3＋x4＝－，x3x4＝．又点O到直线AB：x－y＋m＝0的距离d＝，|AB|＝|x3－x4|＝＝＝，所以S△OAB＝×＝×≤×＝5，当且仅当m2＝30－m2，即m2＝15时取等号，且满足Δ>0．所以△OAB面积的最大值为5．[例3]已知直线l1：ax－y＋1＝0，直线l2：x＋5ay＋5a＝0，直线l1与l2的交点为M，点M的轨迹为曲线C．(1)当a变化时，求曲线C的方程；(2)已知点D(2，0)，过点E(－2，0)的直线l与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．[规范解答](1)由消去a，得曲线C的方程为＋y2＝1(y≠－1，即点(0，－1)不在曲线C上)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－2，由得(m2＋5)y2－4my－1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－，故△ABD的面积S＝2|y2－y1|＝2＝2＝，设t＝，t∈[1，＋∞)，则S＝＝≤，当t＝，即t＝2，m＝±时，△ABD的面积取得最大值．[例4](2019·全国Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－．记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线．(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．[规范解答](1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)．由得x＝±．设u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．于是直线QG的斜率为...