小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题22双变量含参不等式证明方法之消参减元法【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝ax2－x－ln．(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．解析(1) f(x)＝ax2－x－ln＝ax2－x＋lnx，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝2ax－1＋，∴k＝f′(1)＝2a． f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，∴2a＝2，即a＝1．∴f(1)＝0，故切点坐标为(1,0)．∴切线方程为y＝2x－2．(2) f′(x)＝2ax－1＋＝，∴由题意知方程2ax2－x＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根x1，x2，∴Δ＝1－8a＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，∴0＜a＜．f(x1)＋f(x2)＝ax＋ax－(x1＋x2)＋lnx1＋lnx2＝a(x＋x)－(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝ln－－1，令t＝，g(t)＝lnt－－1，则t∈(4，＋∞)，g′(t)＝－＝＜0，∴g(t)在(4，＋∞)上单调递减．∴g(t)＜ln4－3＝2ln2－3，即f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．[例2](2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋alnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－．(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若a>2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝．当x∈∪时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0．所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2．由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1<x2，则x2>1．由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以<a－2等价于－x2＋2lnx2<0．设函数g(x)＝－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0．所以－x2＋2lnx2<0，即<a－2．[例3]已知函数f(x)＝＋lnx．(1)若函数f(x)在内有极值，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，对任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求证：f(t)－f(s)>e＋2－．解析(1)由定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－＝，设h(x)＝x2－(a＋2)x＋1，要使y＝f(x)在上有极值，则x2－(a＋2)x＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，∴Δ＝(a＋2)2－4>0，∴a>0或a<－4，①小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com且至少有一根在区间上，又 x1·x2＝1，∴只有一根在区间(e，＋∞)上，不妨设x2>e，∴0<x1<<e<x2，又h(0)＝1，∴只需h<0，即－(a＋2)＋1<0，∴a>e＋－2，②联立①②可得a>e＋－2．即实数a的取值范围是．(2)由(1)知，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上有最小值f(x2)，即∀t∈(1，＋∞)，都有f(t)≥f(x2)，又当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)在(0，1)上有最大值f(x1)，即对∀s∈(0，1)，都有f(s)≤f(x1)，又 x1＋x2＝2＋a，x1x2＝1，x1∈，x2∈，∴f(t)－f(s)≥f(x2)－f(x1)＝lnx2＋－lnx1－＝ln＋－＝lnx＋x2－，设k(x)＝lnx2＋x－＝2lnx＋x－(x>e)，则k′(x)＝＋1＋>0(x>e)，∴k(x)在上单调递增，∴k(x)>k(e)＝2＋e－，∴f(t)－f(s)>e＋2－．[例4]已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|．思维引导(2)所证不等式|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由(1)问可知f(x)单调递减，故只需知道x1，x2的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且x1，x2任取，进而可定序x1≥x2，所证不等式f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，发现不等式两侧为关于x1，x2的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝＝．当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当－1＜a＜0...