2021年上海市春季高考数学试卷2021.01一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知等差数列{}na的首项为3，公差为2，则10a2.已知13iz，则|i|z3.已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4.不等式2512xx的解集为5.直线2x与直线310xy的夹角为6.若方程组111222axbycaxbyc无解，则1122abab7.已知(1)nx的展开式中，唯有3x的系数最大，则3x的系数为8.已知函数()331xxafx(0)a的最小值为5，则a9.在无穷等比数列{}na中，1lim()4nnaa，则2a的取值范围是10.某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11.已知椭圆2221yxb（01b）的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是12.已知0，存在实数，使得对任意*nN，3cos()2n，则的最小值是二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）A.2()fxxB.()sinfxxC.()2xfxD.()1fx14.已知集合{|1,}AxxxR，2{|20,}BxxxxR，则下列关系中，正确的是（）A.ABB.ABRRC.ABD.ABR15.已知函数()yfx的定义域为R，下列是()fx无最大值的充分条件是（）A.()fx为偶函数且关于点(1,1)对称B.()fx为偶函数且关于直线1x对称C.()fx为奇函数且关于点(1,1)对称D.()fx为奇函数且关于直线1x对称16.在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得0ABCE；②存在三角形△ABC，使得CE∥()CBCA；它们的成立情况是（）A.①成立，②成立B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD.（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小.18.已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C.（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）若4cos()45A，求c.19.（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20PAPB千米，可知P在以A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，若P在O点北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标；（2）团队又在O点南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现一点Q满足||||30QAQB千米，||||10QCQD千米，求||OQ和Q点方位.（精确到1米，1°）20.已知函数()||fxxaax.（1）若1a，求函数的定义域；（2）若0a，且()faxa有2个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数()fx在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.21.已知数列{}na满足0na，对任意2n，na和1na中存在一项使其为另一项与1na的等差中项.（1）已知15a，23a，42a，求3a的所有可能取值；（2）已知1470aaa，2a、5a、8a为正数，求证：2a、5a、8a成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即0rstaaa，2rst，且11a，22a，求111rstaaa的最大值.