小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题05基本初等函数第一缉1．【2021年江西预赛】方程1x+1y=12021的正整数解的组数为.【答案】9【解析】由1x+1y=12021,得到(x−2021)(y−2021)=20212=432⋅472,因432⋅472共有(2+1)¿1)¿9个正因数,x−2021可取9个值,即x可取9个值,而当x取定后,y的值便唯一确定;因此方程有9组正整数解.2．【2021年江西预赛】设对每个实数x,f(x)的值皆取x2,6−x,2x+15中的最小值,则f(x)的最大值是.【答案】9【解析】如图,解出其交点,则有f(x)=¿则当x⩽−3,f(x)⩽9;当−3⩽x⩽2,f(x)⩽9;当x⩾2,f(x)⩽4,因此f(x)⩽9,x∈R.3．【2021年江西预赛】函数f(x)=x−x3(1+x2)2的值域是.【答案】[−14,14].【解析】f(x)=x1+x2⋅1−x21+x2,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令x=tanα,则f=12sin2α⋅cos2α=14sin4α,由此,−14⩽f⩽14,当x=¿−tanπ8,tanπ8时两边分别取得等号.4．【2021年吉林预赛】已知函数f(x)=x3−ax2+(a2−2)x+1.若存在m>0,使得f(m)≤0,则实数a的最大值为.【答案】1【解析】a=1时，f（1）=0，符合题设；a>1时，f(x)=(x−a)2x+ax2−2x+1≥ax2−2x+1>x2−2x+1≥0，不符合题设.综上，实数a的最大值为1.5．【2021年福建预赛】已知f(x)=1x2+1x4,若f(a−2)<f(2a+1)成立，则a的取值范围为.【答案】(−3,−12)∪(−12,13)【解析】易知f(x)=1x2+1x4是定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，且在(0,+∞)递减.所以¿a−2∨¿∨2a+1∨¿0.解得,−3<a<13,且a≠−12.所以，a的取值范围为(−3,−12)∪(−12,13).6．【2021年福建预赛】已知f(x)和g(x)是两个二次项系数均为1的二次函数.若g(6)=35,f(−1)g(−1)=f(1)g(1)=2120,则f(6)=¿.【答案】35【解析】解法一:设f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,则由题设条件可得：20(1−a+b)=21(1−c+d)⋯⋯⋯(1),20(1+a+b)=21(1+c+d)⋯⋯⋯(2)，(1)、(2)两式左右两边分别相加，得40+40b=42+42d,20b=1+21d；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)、(2)两式左右两边分别相减，得−40a=−42c,20a=21c.另由g(6)=35,得36+6c+d=35.所以,36+6×2021a+20b−121=35,6a+b=−1.所以,f(6)=36+6a+b=35.解法二:设h(x)=21g(x)−20f(x),则由条件知h(x)是二次项系数为1的二次函数.又h(−1)=2lg(−1)−20f(−1)=0,h(1)=2lg(1)−20f(1)=0,所以,h(x)=(x+1)(x−1)=x2−1.因此，h(6)=21g(6)−20f(6)=62−1=35.所以,21×35−20f(6)=35,f(6)=35.7．【2021年重庆预赛】设正实数a,b,c满足abc=1011,且lga⋅lg(bc)+lgb⋅lg(ca)+lgc⋅lg(ab)=40,则❑√lg2a+lg2b+lg2c=¿.【答案】19【解析】令x=lga,y=lgb,z=lgc,则x+y+z=11,2(xy+yz+zx)=40,从而❑√x2+y2+z2=❑√112−40=❑√81=9.8．【2021年重庆预赛】已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时,f(x)=x2,则不等式f(f(x))+f(x−1)<0的解集为.【答案】(−∞,❑√5−12)【解析】由函数f(x)为奇函数，不等式等价于f(f(x))<f(1−x),由于单调递增，所以f(x)<1−x,当x≥0,x2<1−x,解得0≤x<❑√5−12；当x<0,−x2<1−x查成立.综上x∈(−∞,❑√5−12).9．【2021年重庆预赛】已知f(x)=2mx2−2mx−8x+9,g(x)=mx−m,对任意x∈R,f(x)与g(x)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com至少有一个为正数，则实数m的取循范围是.【答案】(0,8)【解析】易知m>0,所以当x>1时，g(x)>0恒成立,只需要当x≤1时，f(x)>0恒成立，即2mx2−2mx−8x+9>0.(1)Δ=(2m+8)2−72m<0,解得2<m<8:(2)f(l)=1>0,且2m+84m≥1,解得0<m≤4.综上m的取值范围为(0,8).10．【2021年广西预赛】设k为方程¿x¿14+¿x¿12−cosx=0的实根的个数，则k=¿.【答案】2【解析】令f(x)=¿x¿14+¿x¿12−cosx,则f(0)=−1.当x≥1时,f(x)≥1.f(x)...