小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题32不等式第一缉1．【2021年吉林预赛】已知四个整数a,b,c,d都是偶数，且0<a<b<c<d,d−a=90,若a,b,c成等差数列b,c,d成等比数列，则a+b+c+d=¿.【答案】194【解析】由题设知a+c=2b,bd=c2,d−a=90,消去c,d,得b(a+90)=(2b−a)2.即90b=(4b−a)(b−a),因为4b−a≡b−a(mod6),所以4b−a,b−a都是6的倍数,又因为3b<4b−a<4b,所以22.5<b−a<30,故b−a=24,从而4b−a=154b,即b=4a,从而c=7a,d=494a,故494a−a=90.所以a=8,b=32,c=56,d=98,故a+b+c+d=8+32+56+98=194.2．【2021年福建预赛】若正实数x，y满足x（x+2y）=9，则x5y的最大值为.【答案】54【解析】解法一：由题设及平均不等式知：9=x(x+2y)=x(12x+12x+2y)≥x⋅33√12x⋅12x⋅2y.所以,33≥x3⋅12x⋅12x⋅2y,x5y≤2⋅33=54,当且仅当12x=2y,即x=❑√6,y=❑√64时等号成立.所以,最大值为54.解法二：由题意可得y=12(9x−x)(0<x<3).所以,x5y=x5⋅12(9x−x)=12(9x4−x6)，设f(x)=12(9x4−x6),则f'(x)=12(36x3−6x5)=−3x3(x−❑√6)(x+❑√6),0<x<❑√6时,f'(x)>0;❑√6<x<3时,f'(x)<0.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,f(x)在区间¿上单调递增，在区间¿上单调递减所以，x=❑√6时，f(x)有最大值f(❑√6)=54.因此,x=❑√6,y=❑√64时，x5y取最大值54.所以，x5y的最大值为54.3．【2021年浙江预赛】设直角坐标平面上两个区域为M={(x,y)∈R2∣0≤y≤min(2x,3−x)},N={(x,y)∈R2∣t≤x≤t+2},记M与N的公共部分面积为f(t)。当0≤t≤1时，则f(t)的表达式为.【答案】f(t)=−32t2+t+52【解析】由图可知f(t)=3−t2−12(1−t)2=−32t2+t+52.4．【2021年广西预赛】已知xy+yz+zx=1,其中x,y,z均为正数,则❑√3xy+1+❑√3yz+1+❑√3zx+1的整数部分为.【答案】4【解析】取x=y=z=❑√33易得结果，一般的证明可考虑使用幂函平均不等式.5．【2020年福建预赛】已知a、b、c、d为正数,且a+20b=c+20d=2.则1a+1bcd的最小值为.【答案】4412【解析】由条件知0<cd=120⋅c⋅20d⩽120(c+20d2)2=120.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则1a+1bcd⩾1a+20b=12(1a+20b)(a+20b)=12(401+20ba+20ab)⩾12(401+2❑√20ba⋅20ab)=4412,当且仅当c=20d且20ba=20ab,即a=b=221,c=1,d=120时,上式等号成立.故1a+1bcd的最小值为4412.6．【2020年福建预赛】已知实数m满足当关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有实根时，(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2⩾ma2总成立.则m的最大值为.【答案】98【解析】设μ=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2a2,其中,a、b、c为实数,a≠0.当方程ax2+bx+c=0有实根时,设其两个根为x1,x2.由韦达定理知x1+x2=−ba,x1x2=ca.则μ=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2a2¿(1−ba)2+(ba−ca)2+(ca−1)2¿(1+x1+x2)2+(−x1−x2−x1x2)2+(x1x2−1)2¿2(x12+x1+1)(x22+x2+1)⩾2×34×34=98,当且仅当x1=x2=−12,即a=b=4c≠0时,上式等号成立.故μ的最小值为98.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com从而,m的最大值为98.7．【2020年甘肃预赛】设x、y均为正数.则M=4xx+3y+3yx的最小值为.【答案】3【解析】注意到,M=4xx+3y+x+3yx−1⩾3.当x=3y时,M=3.8．【2020年吉林预赛】设x、y满足约束条件{x−y−2⩾0,x−5⩽0,y+2⩾0.则z=x2+y2的最小值与最大值的和为.【答案】36【解析】由约束条件作出可行域,如图1,即△ABC内部及其边界,其中,A(5,3),B(5,−2),C(0,−2).注意到,x2+¿y2的几何意义是点P(x,y)到坐标原点距离的平方,于是,x2+y2的最大值为AO2=25+9=34.而x2+y2的最小值为:原点到直线x−y−¿2=0距离的平方,即PO2=(2❑√2)2=2.故所求为34+2=36.9．【2020年四川预赛】已知正实数x、y满足1x+3y+12x+y=1.则x+y的最小值为.【...
