小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第三课时构造函数证明不等式题型一移项构造函数证明不等式例1已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln，且x＞0时，＞x＋－3a.(1)解由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln3，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln3)ln3(ln3，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln3)，单调递增区间是(ln3，＋∞)，f(x)在x＝ln3处取得极小值，极小值为f(ln3)＝eln3－3ln3＋3a＝3(1－ln3＋a)，无极大值.(2)证明待证不等式等价于ex＞x2－3ax＋1，设g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x＞0，于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x＞0.由(1)及a＞ln＝ln3－1知g′(x)的最小值为g′(ln3)＝3(1－ln3＋a)＞0.于是对任意x＞0，都有g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)内单调递增.于是当a＞ln＝ln3－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0).而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即ex＞x2－3ax＋1，故＞x＋－3a.感悟提升待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com式.训练1证明：当x>1时，x2＋lnx<x3.证明设g(x)＝x3－x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以当x>1时，g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋lnx＜x3.题型二分拆函数法证明不等式例2证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－成立.证明问题等价于证明xlnx＞－(x∈(0，＋∞)).设f(x)＝xlnx，f′(x)＝1＋lnx，易知x＝为f(x)的唯一极小值点，则f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到.设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，由m′(x)＜0，得x＞1时，m(x)单调递减；由m′(x)＞0得0＜x＜1时，m(x)单调递增，易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到.从而对一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－≥－，两个等号不同时取到，所以对一切x∈(0，＋∞)都有lnx＞－成立.感悟提升1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.训练2(2022·百校大联考)已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.(1)解f′(x)＝－a(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)证明法一 x>0，∴只需证f(x)≤－2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－e.记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝，∴当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(0，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝－e.综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.法二由题意知，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，从而等价于lnx－x＋2≤.设函数g(x)＝lnx－x＋2，则g′(x)＝－1.∴当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.设函数h(x)＝，则h′(x)＝.∴当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0...