小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点11平面向量中的最值与范围问题【八大题型】【新高考专用】平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com图形的特征直接进行判断；(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：(1)定义法①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.(2)坐标法①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.【知识点2极化恒等式】1．极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：.证明：不妨设，则，，①，②，①②两式相加得：.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式平行四边形模式：.2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com线”平方差的．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点3等和(高)线定理】1．等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,kR∈，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立.(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k=1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)∈；③当直线AB在O点和等和线之间时，k(1,+∈∞)；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com④当等和线过O点时，k=0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.【题型1定义法求最值（范围）问题】【例1】（2024·四川泸州·一模）已知平面向量|⃗OA)=4,|⃗OB)=3,|⃗OC)=1,⃗OA⋅⃗OB=0，则|⃗CA+⃗CB)的最小值是（）A．1B．2C．32D．3【解题思路】由题设A,B,C分别在以O为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且⃗OA⊥⃗OB，数形结合及向量加法的几何意义确定|⃗CA+⃗CB)的范围，即可得答案.【解答过程】由题设，A,B,C分别在以O为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且⃗OA⋅⃗OB=0，所以⃗OA⊥⃗OB，若D是AB的中点，则¿OD∨¿12∨AB∨¿52，而¿OC∨¿1，如下图示，由图知，|⃗CA+⃗CB)=2∨⃗CD∨¿，而¿OD∨−∨OC∨≤∨CD∨≤∨OD∨+¿OC∨¿，即32≤∨CD∨≤72.所以|⃗CA+⃗CB)的最小值是3.故选：D.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-1】（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(0,2)，...