小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训05利用导数证明不等式（三大题型）利用导数证明数列不等式的常用方法：(1)利用函数中经典不等式放缩，根据放缩的方向，将函数中经典不等式转化为数列不等式，将不可求和的数列放缩成可求和的数列(2)结论再造，利用上一问中得到的函数结论，构造出函数不等式，进而转化为数列不等式，再进行放缩求和.(3)数列思想求通项，通过求出不等式两侧对应数列的通项公式，进而作差构造函数.以上办法的实质都是构建了函数不等式与数列不等式之间的关系，进而利用数列求和来解决问题.目录：01：移项构造函数证明不等式02：分拆函数法证明不等式03：放缩后构造函数证明不等式01：移项构造函数证明不等式例1已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln，且x＞0时，＞x＋－3a.(1)解由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln3，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－，∞ln3)ln3(ln3，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－，∞ln3)，单调递增区间是(ln3，＋∞)，f(x)在x＝ln3处取得极小值，极小值为f(ln3)＝eln3－3ln3＋3a＝3(1－ln3＋a)，无极大值.(2)证明待证不等式等价于ex＞x2－3ax＋1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x＞0，于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x＞0.由(1)及a＞ln＝ln3－1知g′(x)的最小值为g′(ln3)＝3(1－ln3＋a)＞0.于是对任意x＞0，都有g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)内单调递增.于是当a＞ln＝ln3－1时，对任意x(0∈，＋∞)，都有g(x)＞g(0).而g(0)＝0，从而对任意x(0∈，＋∞)，g(x)＞0.即ex＞x2－3ax＋1，故＞x＋－3a.感悟提升待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造左减右或右减左的函数“”“”，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.训练1已知函数.(1)当时，（）求ⅰ在点处的切线方程；（）求ⅱ的最小值；(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，证明.（1）解：当时，，，（）ⅰ，所以在点处的切线方程为，即；（）当ⅱ时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以；（2）解：，令，则，当，即时，，，所以函数在上递增，所以，即小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，，所以函数在上递增，所以，所以满足题意；当，即时，令，则，当时，，所以函数在上递减，所以当时，，即当时，，所以函数在上递减，此时，与题意矛盾，综上所述，实数的取值范围为；（3）证明：由（2）得，当时，，即，要证，只需要证明，只需要证明，只需要证明，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，所以.【分析】（1）求导，（）根据导数的几何意义即可得出答案；ⅰ（）根据导数的符号求出函数的单调区间，从而可得函数的最小值；ⅱ（2）求出函数的导函数，根据分和两种情况讨论，从而可得出答案；（3）由（2）可得，当时，，则要证，只需要证明，只需要证明，构造函数，再利小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com用导数证明即可得证.02：分拆函数法证明不等式例2证明：对一切x(0∈，＋∞)，都有lnx＞－成立.证明问题等价于证明xlnx＞－(x(0∈，＋∞)).设f(x)＝xlnx，f′(x)＝1＋lnx，易知x＝为f(x)的唯一极小值点，则f(x)＝xlnx(x(0∈，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到.设m(x)＝－(x(0∈，＋∞))，则m′(x)＝，由m′(x)＜0，得x＞1时，m(x)单调递减；由m′(x)＞0得0＜x＜1时，m(x)单调递增，易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到.从而对一切x(0∈，＋∞)，xlnx≥－－，两个等号不同时取到，所以对一切≥x(0∈，＋∞)都有lnx＞－成立.感悟提升1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.2.等价变形的目的是求导后简单地找到...