【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.【典例指引】例1．已知函数．（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当且时，试比较的大小．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则只要证明在上单调递增，又 ，学科&网显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．例2．已知函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数x，不等式恒成立.(Ⅰ)求函数的表达式；(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)求证：.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(Ⅲ)证明：因为，所以要证不等式成立，即证22211123(1)24nnn.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为21111(1)(1)(2)12nnnnn，学科&网所以22211111111123(1)233412nnn112224nnn.所以成立例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点（I）求的取值范围；（II）求证：【答案】(1);(2)详见解析.学科&网【思路引导】(1)函数，在定义域内有两个不同的极值点，令即对求导，按照和分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围;(2)证明，即证，，，构造函数求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（II）由题意及（I）可知，即证例4．已知函数的图象在处的切线过点，.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【思路引导】（1）求导，则.又，曲线在处的切线小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com过点利用斜率相等，可得，又，可得，则，可得函数的极值点（2）由题是方程的两个根，则，，由，可得，，∴是函数的极大值，是函数的极小值∴要证，只需，计算整理可得，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【新题展示】1．【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.[来源:学,科,网Z,X,X,K]【思路引导】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，的最大值为，从而要证等价于，即，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得证.【解析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）由题意，得，若，恒成立，在上是增函数；若，当时，，是增函数；[来源:学§科§网Z§X§X§K]当时，，是减函数；综上，时，在上是增函数；时，在上是增函数，在上是减函数.2．【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数，曲线在点处的切线方程为．求a，b的值；2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．【思路引导】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.【解析】函数，导数为，曲线在点处的切线方程为，可得，，则，即有，；2当时，关于x的不等式恒成立，可得恒成立，即有对恒成立，可设，导数为，设，，，当时，，在递增，可得，则在递增，，与题设矛盾；当，，可得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数．求的单调区间；当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围；证明不等式.【思路引导】求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；问题等价于对恒成立，令，根据函数的...