小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训01函数的周期性与对称性及应用（九大题型）一、函数图象的对称性1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称。2.函数图象对称性的结论(1)函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)y=f(x)⇔的图象关于直线x=(2)函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2cy=f(x)⇔的图像关于点对称二、函数奇偶性与对称性间的关系(1)若函数y=ʃ(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.一般的，若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数y=ʃ(x+a)是奇函数，即ʃ(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.一般的，若对于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。三、函数的周期性1.周期函数的定义对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,能使得当x取定义域内的所有值时，都有f(x+T)=ʃ(x),则函数y=f(x)叫做以T为周期的周期函数.2.函数周期性的结论(1)若函数f（x）恒满足f（x+a）=f（x+b），则f（x）是周期函数，是它的一个周期.(2)若函数f（x）恒满足f（x+a）=-f（x），则f（x）是周期函数，是它的一个周期.推论：若函数(x)恒满足/(x+a)=-f（x+b）(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)若函数f（x）恒满足f（x+a）=(a≠0)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.推论：若函数(x)恒满足f(x+a)=(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.(4)若函数f（x）恒满足f（x+a）=-(a≠0)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.推论：若函数(x)恒满足f(x+a)=-(a≠b)，则f（x）是周期函数，是它的一个周期.(5)对于定义域中的任意x,恒有,则f(x)为周期函数，是它的一个周期.(6)对于定义域中的任意x,恒有,则f(x)为周期函数，是它的一个周期.(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等价于(x)=-f(x-3a),则f(x)为周期函数，且是它的一个周期.四、函数的对称性与周期性间的关系(多对称性产生周期性)(1)若函数f(x)是偶函数，且关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期推论：若函数f(x)关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.(2)若函数f(x)是奇函数，且关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期推论：若函数f(x)关于点(a,0)、直线x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期.(3)若函数f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a≠0)对称，则f(x)是周期函数是它的一个周期推论：若函数关于点(a,0),(b,0)(a≠b)对称，则f(x)是周期函数，是它的一个周期小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com目录：01函数周期性的定义与求解02由周期性求函数的解析式03判断证明抽象函数的周期性04由函数的周期性求函数值05判断或证明函数的对称性06由对称性求函数的解析式07由对称性研究函数的单调性08由对称性求参数09函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题01函数周期性的定义与求解1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（）．A．B．3C．6D．9【答案】C【分析】根据函数周期的定义，求解即可．【解析】因为的周期是3，所以，令，则，所以的周期为6，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：C．2．（2021高一·上海·专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为．【答案】4【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解.【解析】，，又为奇函数，是周期为的周期函数.故答案为：4.3．（20-21高二上·广东汕头·期末）已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则.【答案】【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可.【解析】因为，所以奇函数的周期为.所以故答案为:4．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（）A．B．C．0D．2【答案】A【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.【解析】因为为奇函数，所...