小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训05利用导数证明不等式（三大题型）利用导数证明数列不等式的常用方法：(1)利用函数中经典不等式放缩，根据放缩的方向，将函数中经典不等式转化为数列不等式，将不可求和的数列放缩成可求和的数列(2)结论再造，利用上一问中得到的函数结论，构造出函数不等式，进而转化为数列不等式，再进行放缩求和.(3)数列思想求通项，通过求出不等式两侧对应数列的通项公式，进而作差构造函数.以上办法的实质都是构建了函数不等式与数列不等式之间的关系，进而利用数列求和来解决问题.目录：01：移项构造函数证明不等式02：分拆函数法证明不等式03：放缩后构造函数证明不等式01：移项构造函数证明不等式例1已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln，且x＞0时，＞x＋－3a.感悟提升待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造左减右或右减左的函数“”“”，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.训练1已知函数.(1)当时，（）求ⅰ在点处的切线方程；（）求ⅱ的最小值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，证明.02：分拆函数法证明不等式例2证明：对一切x(0∈，＋∞)，都有lnx＞－成立.证明问题等价于证明xlnx＞－(x(0∈，＋∞)).感悟提升1.若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)恒成立.2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与lnx要分离，常构造xn与lnx，xn与ex的积、商形式.便于求导后找到极值点.训练2已知函数f(x)＝elnx－ax(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.03：放缩后构造函数证明不等式例3已知x(0∈，1)，求证：x2－＜.感悟提升某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式ex≥x＋1，1－≤lnx≤x－1等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，然后再构造函数进行证明.训练3证明：exlnx＋＞1.方法技巧：指对同构在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.(1)五个常见变形：xex＝ex＋lnx，＝ex－lnx，＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝ln.(2)三种基本模式积型：①aea≤blnb――――――――→商型：②＜――――――――→和差型：③ea±a＞b±lnb――――――――→例(1)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若f(x)≥1，求a的取值范围.(2)已知函数f(x)＝aex－lnx－1，证明：当a≥时，f(x)≥0.题一、单选1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a，，若，，则b的可能值为（）A．2.5B．3.5C．4.5D．62．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（）A．B．C．D．5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，...