小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训07利用导数解决双变量问题（三大题型）如果两个变量之间不存在具体直观的等量关系，但可以通过适当的代数变形将两个变量化为某种结构的整体，常见如x₂-x,，这种通过换元实现双变量合二为一目的，把双变量转化为单变量的手段分别称为差值代换和比值代换“”“”.注：如果所给条件能转化为关于变量x₁,x₂的齐次式，常常建立关于的函数.导数中解决双变量问题的步骤：(1)先根据已知条件确定出两个变量x₁,x₂满足的条件；(2)将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：将所有涉及①x₁,x₂的式子转化为关于的式子，令,将问题转化为关于自变量t的函数问题；令②t=x₂-x₁,将问题转化为关于自变量t的函数问题.注：需要关注新元的范围即为新函数的定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.目录：01：转化为同源函数解决02：整体代换03：构造具体函数解决双变量问题01：转化为同源函数解决例1已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，其中a为实常数.对于函数图象上任意不同的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1＋x2＋k＞0恒成立，求a的取值范围.感悟提升此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.训练1已知函数f(x)＝alnx＋x2，在其图象上任取两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＞x2)，总能使得＞2，则实数a的取值范围为()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(1，2)D.[1，2]02：整体代换例2设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx，g(x)＝2alnx－4x＋b，其中a＞0，b∈R.已知a＞2，且方程f(x)＝g(x)在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′＞0.感悟提升(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题，一般是根据x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，确定x1，x2的关系，再通过消元转化为只小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化为关于的函数，把看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.训练2设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax，若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：lnx1＋lnx2＞2.03：构造具体函数解决双变量问题例3已知函数f(x)＝x(1－lnx).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，证明：2<＋<e.答题模板第一步分析题意，探究两变量的关系第二步合二为一，变为单变量不等式第三步构造函数第四步判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题第五步反思回顾解题过程，规范解题步骤训练3已知函数f(x)＝2ax＋bx－1－2lnx(a∈R).当x＞y＞e－1时，求证：exln(y＋1)＞eyln(x＋1).方法技巧1极值点偏移(1)极值点不偏移已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).图(1)(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.(2)极值点偏移若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).图(2)(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0；图(3)(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0.(3)极值点偏移问题的常见解法①(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2＞2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2＞x型，构造函数F(x)＝f(x)－f，通过研究F(x)的单调性获得不等式.②(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.例已知函数f(x)＝xe－x，如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2.方法技巧1指数、对数均值不等式极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.一、对数均值不等式结论1...