小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com特训14同构思想在解析几何的应用（五大题型）数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的表达式，下面提供其理论基础：若实数①a,b分别满足f(a)=0,f(b)=0,由此a,b可视为方程f(x)=0的两个根.——双切线、斜率和(积)为定值时，恒过定点问题的核心思路.如果②A(x1,y₁),B(x₂,y₂)满足的方程结构相同，则A,B为方程所表示的曲线上的两点.特别地，若A(x₁,y),B(x₂,y₂)满足ax1+by1+c=0,ax₂+by₂+c=0,则直线AB的方程为ax+by+c=0.——切点弦方程推导的核心思路.思维点拨：同构思想是数学中代数处理的一种重要思想，其关键在于发现代数式子结构的相似性，对其进行代数变形的统一构造处理.同构思想在解析几何中的应用非常广泛，比如斜率和、斜率积为定值，恒过定点，切点弦，双切线等问题，使用同构思想可以大大简化运算，实现数与形的完美结合.目录：01定点问题02定值问题03定比分点问题04双切线问题05切点弦问题01定点问题1．已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程；（2）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标.【解析】（1）由椭圆定义可知，|BF1)+|BF2)=2a，所以的周长为，所以，又因为椭圆离心率为，所以，所以，又，所以椭圆的方程：．（2）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，，，则直线的方程为，则，由得，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，因为，所以，所以，故，又，同理，，，由A，，B三点共线，得，所以，直线CD的方程为，由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，令得，，故直线CD过定点．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）特殊探路，一般证明：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；“”（2）一般推理，特殊求解：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方“”程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.2．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）.(1)若为圆上的动点，求线段长度的最小值；(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线的直线方程，由直线与圆相切可得是方程的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【解析】（1）由题意得椭圆的方程：，所以短半轴所以，所以抛物线的方程是.设点，则，所以当时，线段长度取最小值.（2）是抛物线上位于第一象限的点，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，且.设，则：直线，即，即.直线，即.由直线与圆相切得，即.同理，由直线与圆相切得.所以是方程的两个解，.代入方程得，解得直线恒过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc...