小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破02奔驰定理与四心问题奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有SPBC△·PA＋SPAC△·PB＋SPAB△·PC＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着决定性的基石作用．三角形的内心1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等常见内心的向量表示：（1）（或）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com其中分别是的三边的长（2），则点的轨迹一定经过三角形的内心（注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)）3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。拓展：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()||||ABACOPOAtABAC���，证明P的轨迹一定通过ABC的内心．三角形的外心外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）注：外心到三角形各顶点的距离相等.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com常用外心的向量表示：（1）（2）变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。三角形的“重心”1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G注：重心将中线长度分成2、常见重心的向量表示：设是的重心，为平面内任意一点.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）（2），，，（3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心.注：若、、，重心坐标为.若，则点经过的重心；3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义三角形的“垂心”1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O注：高线与对应边垂直小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2、常见垂心的向量表示证明：因为，所以，所以，同理可得，，所以O为垂心（2）一．选择题（共22小题）1．（2023春•叙州区校级期中）若点是的重心，则下列向量中与共线的是A．B．C．D．【解答】解：点是的重心，设，，分别是边，，的中点，，同理，，，零向量与任意的向量共线，故选：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．（2023•西安模拟）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量A．B．C．D．【解答】解：如图所示：由于点为的重心，所以，故，故．故选：．3．（2022•昌吉州模拟）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点，与点，不重合），设，，则的最小值为A．2B．C．4D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】解：为的重心，，又在线段上，，，，，由题意可知，，，，，当且仅当，时等号成立，，即的最小值为4．故选：．4．（2022•大武口区校级四模）在等边中，为重心，是的中点，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．【解答】解：在等边中，为重心，是的中点，设是中点，．故选：．5．（2023•普陀区校级模拟）已知点为的外心，且，则为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：由三角形的外心为各边中垂线的交点，结合向量投影的运算可得：，，，又，则，则，即，即为钝角三角形，故选：．6．（2020•青秀区校级模拟）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，．则点的轨迹一定通过三角形的A．内心B．外心C．重心D．垂心小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】解：由正弦定理可知：，为三角形的外接圆的半径，所以动点满足．因为是以，为邻边的平行四边形的对角线为起点的向量，经过的中点，所以点的轨迹一定...