小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展10导数中的隐零点问题（精讲+精练）一、隐零点问题隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.基本步骤：第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计.下面我们通过实例来分析.二、函数零点的存在性定理函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.三、常见类型1.隐零点代换2.隐零点同构实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简一、知识点梳理小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方向.例如：3.隐零点的估计【典例1】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）若，求的取值范围.解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.（2）由于,，且.设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴二、题型精讲精练小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com成立.当时，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此,故恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.【典例2】已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知有两个零点有两个相异实根.令，则，由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令，，令，，则，在上单增，又，，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，由①知，函数在单调递增，即，，实数的取值范围为.【典例3】已知函数，且．（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且．解析：（1）．（2）由（1）知，．设，则．当时，；当时，．所以在单调递减，在小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com单调递增．又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，．因此，所以是的唯一极大值点．由得，故．由得，．因为是在的最大值点，由，得．所以．【题型训练】1．已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，的定义域为，，在区间递减；在区间递增．所以当时，取得极小值．（2）的定义域为，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，当时，恒成立，所以即在上递增．当时，在区间即递减；在区间即递增．（3）当时，，由（2）知，在上递增，，所以存在使得，即．在区间，递减；在区间递增．所以当时，取得极小值也即最小值为，由于，所以．，，根据零点存在性定理可知在区间和，各有个零点，所以有个零点．2.已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴切点为， ，∴切线斜率，∴切线方程为（2），．当时，，单调递增，∴，．，，，令，，∴在上单调递增，且，，∴，使得，即，也即．令，，，显然时，，单调...