小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破02向量中的隐圆问题目录技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：⃗PA⋅⃗PB=λ定理：平面内，若A,B为定点，且⃗PA⋅⃗PB=λ,则P的轨迹是以M为圆心√λ+14AB2为半径的圆证明：由⃗PA⋅⃗PB=λ，根据极化恒等式可知，PM2−14AB2=λ，所以PM=√14AB2+λ，P的轨迹是以M为圆心√λ+14AB2为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：PA2+PB2=λ定理：若A，B为定点，P满足PA2+PB2=λ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，√λ−12AB22为半径的圆。(λ−12AB2>0)证明：PA2+PB2=2[PM2+(12AB)2]=λ，所以PM=√λ−12AB22，即P的轨迹是以AB中点M为圆小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com心，√λ−12AB22为半径的圆．技巧三．定幂方和型若A，B为定点，{mPA2+PB2=n¿{PA2+mPB2=n¿¿¿¿，则P的轨迹为圆．证明：mPA2+PB2=n⇒m[(x+c)2+y2]+[(x−c)2+y2]=n⇒(m+1)(x2+y2)+2c(m−1)x+(m+1)c2−n=0⇒x2+y2+2(m−1)cm+1⋅x+c2(m+1)−nm+1=0．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解题型一：数量积隐圆例1．（2023·上海松江·校考模拟预测）在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4例2．（2023·全国·高三专题练习）若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．例3．（2023·山东菏泽·高一统考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P为所在平面内的动点，且PC＝2，则的取值范围是（）A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是A．B．C．D．变式2．（2023·北京·高三专题练习）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______.题型二：平方和隐圆例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，满足，则的最大值为________．例5．（2023·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.例6．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．变式4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（）A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com变式5．（2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．变式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点，若圆C上存在点M，满足，则点M的纵坐标的取值范围是___________.题型三：定幂方和隐圆例7．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（）A．B．C．D．例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为A．B．C．D．变式7．（2023·江苏·高三专题练习）已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（）A．B．2C．D．1变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，，则的最大值为_______．变式9．（2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中）已知，，是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是_______．变式10．（2023·全国·高三专题练习...