小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§3.7利用导数研究函数的零点考试要求函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现．题型一利用函数性质研究函数的零点例1已知函数f(x)＝xsinx－1.(1)讨论函数f(x)在区间上的性单调；(2)证明：函数y＝f(x)在[0，π]上有两个零点．(1)解因函为数f(x)的定域义为R，f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f(x)，所以函数f(x)偶函，为数又f′(x)＝sinx＋xcosx，且当x∈，时f′(x)≥0，所以函数f(x)在上增，又函单调递数f(x)为偶函，所以数f(x)在上，单调递减上，函综数f(x)在上增，在上．单调递单调递减(2)证明由(1)得，f(x)在上增，又单调递f(0)＝－1<0，f＝－1>0，所以f(x)在有且只有一内零点，个当x∈，令时g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx，则g′(x)＝2cosx－xsinx，当x∈，时g′(x)<0恒成立，即g(x)在上，又单调递减g＝1>0，g(π)＝－π<0，存在则m∈，使得g(m)＝0，且当x∈，时g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，则f(x)在上增，单调递当x∈(m，π]，有时g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，则f(x)在(m，π]上，单调递减又f＝－1>0，f(π)＝－1<0，所以f(x)在(m，π]上有且只有一零点，个上，函综数y＝f(x)在[0，π]上有2零点．个思维升华利用函性究函的零点，主要是根据函性、奇偶性、最或的数质研数数单调值极值符确定函零点的，此在求解程中可以通形合的方法确定函存在零号数个数类问题过过数结数点的件．条跟踪训练1(2023·湖模芜拟)已知函数f(x)＝ax＋(a－1)lnx＋－2，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围．解(1)函数f(x)的定域义为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋－＝，①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上；单调递减②若a>0，则当x∈，时f′(x)<0，f(x)，单调递减当x∈，时f′(x)>0，f(x)增．单调递上，综当a≤0，时f(x)在(0，＋∞)上；单调递减当a>0，时f(x)在上，在上单调递减单调递增．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)若a≤0，f＝＋1－a＋e－2＝a＋e－1>0，f(1)＝a－1<0.合函的性可知，结数单调f(x)有唯一零点．若a>0，因函在上，在上增，所以要使得函有唯一零点，只需为数单调递减单调递数f(x)min＝f＝1－(a－1)lna＋a－2＝(a－1)(1－lna)＝0，解得a＝1或a＝e.上，综a≤0或a＝1或a＝e.题型二数形结合法研究函数的零点例2(2023·州郑质检)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的零点个数．解(1)f(x)＝ex－ax＋2a，定域义为R，且f′(x)＝ex－a，当a≤0，时f′(x)>0，则f(x)在R上增；单调递当a>0，令时f′(x)＝0，则x＝lna，当x<lna，时f′(x)<0，f(x)；单调递减当x>lna，时f′(x)>0，f(x)增．单调递上所述，综当a≤0，时f(x)在R上增；单调递当a>0，时f(x)在(－∞，lna)上，在单调递减(lna，＋∞)上增．单调递(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x－2)，当a＝0，时ex＝a(x－2)无解，∴f(x)无零点，当a≠0，＝，时令φ(x)＝，x∈R，∴φ′(x)＝，当x∈(－∞，3)，时φ′(x)>0；当x∈(3，＋∞)，时φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，3)上增，在单调递(3，＋∞)上，且单调递减φ(x)max＝φ(3)＝，又x→＋∞，时φ(x)→0，x→－∞，时φ(x)→－∞，∴φ(x)的象如所示．图图当>，即0<a<e3，时f(x)无零点；＝，即当a＝e3，时f(x)有一零点；个当0<<，即a>e3，时f(x)有零点；两个当<0，即a<0，时f(x)有一零点．个上所述，综当a∈[0，e3)，时f(x)无零点；当a∈(－∞，0)∪{e3}，时f(x)有一零点；个当a∈(e3，＋∞)，时f(x)有零点．两个思维升华含的函零点，可化方程解的，若能分离，可分离参数数个数转为个数参数将参数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com出后，用来x表示的函，作出函的象，根据象特征求的范或判零点参数数该数图图参数围断．个数跟踪训练2(2023·沙模长拟)已知函数f(x)＝alnx－2.(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,16]上...