专题18单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转一、凹函数、凸函数的几何特征xyOx1x2图象上任意弧段位于所在弦的下方的函数为凹函数ｙ＝f(x)xyOx1x2图象上任意弧段位于所在弦的上方的函数为凸函数ｙ＝f(x)xyy=h(x)y=g(x)O二、凹凸反转很多时候，我们需要证明f(x)＞0，但不代表就要证明f(x)min＞0，因为大多数情况下，f′(x)的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f(x)＞0，可把f(x)拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要证g(x)＞h(x)，只要证明了g(x)min＞h(x)max即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显，g(x)是凹函数，h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充．凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值．三、六大经典超越函数的图象和性质1．x与ex的组合函数的图象与性质函数f(x)＝xexf(x)＝f(x)＝图象xy－１e－1Oxye1Oxy１e1O定义域R(－∞，0)(0，＋∞)R值域(－∞，0)[(e，＋∞)(－∞，]单在(－∞，－1)上递减在(－∞，0)，(0，1)上递减在(－∞，1)上递增小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com调性在(－1，＋∞)上递增在(1，＋∞)上递增在(1，＋∞)上递减最值f(x)min＝f(－1)＝－当x＞0时，f(x)min＝f(1)＝f(x)max＝f(1)＝2．x与lnx的组合函数的图象与性质函数f(x)＝xlnxf(x)＝f(x)＝图象yOyeOyee1O定义域(0，＋∞)(0，＋∞)(0，1)(1，＋∞)值域(－∞，)(－∞，0)[e，＋∞)单调性在(0，)上递减在(，＋∞)上递增在(0，e)上递增在(e，＋∞)上递减在(0，1)，(1，e)上递减在(e，＋∞)上递增最值f(x)min＝f()＝－f(x)max＝f(e)＝当x＞0时，f(x)min＝f(e)＝e【例题选讲】[例1](2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1．[例2]已知函数f(x)＝(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋lnx)＋＞f(x)－xf(1)．[例3]已知f(x)＝lnx＋．(1)若函数g(x)＝xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值；(2)证明：f(x)>．[例4]已知．(1)当时，求在的最值；(2)求证：，．【对点精练】1．已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．已知，其中常数．(1)当时，求函数的极值；(2)求证：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．设函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，证明：在上恒成立．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3．(1)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，lnx＞－恒成立．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com5．已知函数f(x)＝lnx＋，g(x)＝e－x＋bx，a，b∈R，e为自然对数的底数．(1)若函数y＝g(x)在R上存在零点，求实数b的取值范围；(2)若函数y＝f(x)在x＝处的切线方程为ex＋y－2＋b＝0．求证：对任意的x∈(0，＋∞)，总有f(x)>g(x)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．已知f(x)＝xlnx．(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－成立．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com
