小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题04函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减；(2)如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数．注意：1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为－，－，1，，则函数y＝的单调递减区间是()A．B．C．D．(1，2)答案B解析若虚线部分为函数y＝f(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数y＝f(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数y＝求导得y′＝，由y′<0，得f′(x)<f(x)，由图象可知，满足不等式f′(x)<f(x)的x的取值范围是，因此，函数y＝的单调递减区间为．故选B．(2)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可以是()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案C解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f′(x)的图象可知，原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C．(3)函数f(x)＝x2＋xsinx的图象大致为()答案A解析函数f(x)＝x2＋xsinx的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋(－x)sin(－x)＝x2＋xsinx＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．当x＞0时，x＋sinx＞0，故f′(x)＝x(1＋cosx)＋(x＋sinx)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故选A．(4)函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________；单调递减区间是________．答案(－∞，0)(0，1)解析f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－．令f′(x)＝0，得x＝0．当0<x<1时，f′(x)<0．当x<0时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)．(5)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案(－∞，－1)，(0，＋∞)[－1，0]解析 f(x)＝x(ex－1)－x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0．当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0．当小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comx∈(0，＋∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．(6)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)答案B解析y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得0<x＜1，∴递减区间为(0，1)．(7)设函数f(x)＝2(x2－x)lnx－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为()A．B．C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)答案B解析由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)lnx＋2(x2－x)·－2x＋2＝(4x－2)lnx．由f′(x)＜0可得(4x－2)lnx＜0，所以或解得＜x＜1，故函数f(x)的单调递减区间为，选B．(8)已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cosx，则f(x)的单调递增区间为．答案，解析f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，当0<x<，时f′(x)>0，当<x<，时f′(x)<0，当<x<π，时f′(x)>0，∴f(x)在和上增，在上．单调递单调递减(9)函数f(x)＝2|sinx|＋cos2x在[－，]上的...