小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦模门拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，递增的等比数列{bn}满足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)当n≥2，时an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝3n－1，又 当n＝1，时a1＝S1＝2符合上式，∴an＝3n－1. b2b3＝b1b4，∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的根，两又 b4>b1，∴解得b1＝2，b4＝16，∴q3＝＝8，∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.(2) an＝3n－1，bn＝2n，则cn＝(3n－1)·2n，∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，式相得－将两减Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1＝4＋3－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.思维升华列的合常等差、等比列合，者相互系、相互化，解答数综问题将数结两联转这类的方法：找通公式，利用性行化．问题寻项质进转跟踪训练1(2022·全甲卷国)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)证明由＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化得简an＋1－an＝1，所以列数{an}是公差为1的等差列．数(2)解由(1)知列数{an}的公差为1.由a4，a7，a9成等比列，数得a＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋＝＝2－，所以当n＝12或13，时Sn取得最小，最小－值值为78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足：bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.B.C.D.答案D解析列数{an}足满a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n，①当n≥2，时a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2＋(n－1)，②①－②得an＝2n，故an＝2n2，当n＝1，时a1＝2也足上式．满列数{bn}足：满bn＝＝＝，则Tn＝＝，由于Tn<λ(n∈N*)恒成立，故<λ，整理得λ>，因为y＝＝在n∈N*上，单调递减故当n＝1，时max＝，所以λ>.(2)已知数列{an}满足a1＝，3an,2an＋1，anan＋1成等差数列．①证明：数列是等比列数，并求{an}的通项公式；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com②记{an}的前n项和为Sn，求证：≤Sn<.①解由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因为a1＝≠0，所以由推系可得递关an≠0恒成立，所以＝＋1，所以－4＝－3，即－1＝.又因－为1＝－1＝，所以列是首，公比的等比列，数项为为数所以－1＝n，所以an＝.②证明由①可得an＝≥＝×n－1，所以Sn≥＋×1＋…＋×n－1＝，an＝<＝n，S1＝<，当n≥2，时Sn<＋2＋…＋n＝＋＝－3×n<.上所述，综≤Sn<成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·岩模龙拟)已知函数f(x)＝x3＋4x，记等差数列{an}的前n项和为Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，则S2022等于()A．－4044B．－2022C．2022D．4044答案A解析因为f(－x)＝－x3－4x＝－f(x)，所以f(x)是奇函，数因为f(a1＋2)＝100，f(a2022＋2)＝－100，所以f(a1＋2)＝－f(a2022＋2)，所以a1＋2＋a2022＋2＝0，所以a1＋a2022＝－4，所以S2022＝＝－4044.(2)数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－解析因为a4＋λa10＋a16＝15,所以a1＋3d＋λ(a1＋9d)＋a1＋15d＝15，令λ＝f(d)＝－2，因为d∈[1,2]，所以令t＝1＋9d，t∈[10,19]，因此λ＝f(t)＝－2，当t∈[10,19]，函时数λ＝f(t)是函，故减数...