小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§7.7向量法求空间角考试要求能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝.2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直的方向向量所成的角就是直所成的角．两线两条线(×)(2)直的方向向量和平面的法向量所成的角就是直平面所成的角．线线与(×)(3)面直所成角的范是，直平面所成角的范是两异线围线与围.(√)(4)直的方向向量线为u，平面的法向量为n，面角则线θ足满sinθ＝cos〈u，n〉．(×)教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案A解析由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l平面与α所成的角为30°.2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.所以直线l1和l2所成角的余弦值为.3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为()A.B.C.D.答案D解析平面设α平面与β的角夹为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝，则sinθ＝＝＝，所以tanθ＝＝.题型一异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析 正四柱棱ABCD－A1B1C1D1的体，积为AB＝1，∴AA1＝，以D原点，为DA，DC，DD1所在直分线别为x、轴y、轴z，建立如所示的空直角坐轴图间系，标小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，AB1＝(0,1，)，CD1＝(0，－1，)，直设线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.又0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案A解析因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，所以∠BOD＝，接连CO，则CO⊥平面ABD，以点O坐原点，为标OB，OC所在直分线别为y、轴z建立轴如所示的空直角坐系，图间标设圆O的半径为2，则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，D(，1,0)，AD＝(，3,0)，BC＝(0，－2,2)，面直设异线AD与BC所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈AD，BC〉|＝＝＝，所以面直异线AD与BC所成角的余弦值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思维升华用向量法求面直所成的角的一般步异线骤(1)建立空直角坐系．间标(2)用坐表示面直的方向向量．标两异线(3)利用向量的角公式求出向量角的余弦．夹夹值(4)注意面直所成角的范是，即面直所成角的余弦等于向量角的余弦两异线围两异线值两夹的．值绝对值跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．答案解析等三角形的设边边长为2.取BC的中点O，接连OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD垂直，以两两O坐原点，为标OD，OC，OA所在直线分别为x...