小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题18构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG＝3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A．15B．12C．9D．6思路指引：连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE∥BC，并且可知△ADE的高等于12AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么△ADE的面积就可求．而所求S△FOG+S四边形ADOE＝S△ADE+S△DOE+S△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S△FOG+S四边形ADOE的面积．解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足， △ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH＝CH¿12BC¿12×6＝3， AB＝AC＝5，BC＝6，由勾股定理得AH¿❑√AB2−BH2=❑√52−32=¿4，∴S△ADE¿12BC•AH2=12×3×42=¿3，设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b¿AH2=¿2，∴S△DOE+S△FOG¿12DE•a+12FG•b¿12×3（a+b）¿12×3×2＝3，∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comS△ADE+S△DOE+S△FOG＝3+3＝6．故选：D．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点0，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF＝DG．GFEDCBA解：连接ED，FG.证四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG且EF＝DG．ABCDEFG类型二连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2❑√3，则GH的最小值为（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．❑√3B．❑√22C．❑√6D．❑√62思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示： 四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=2❑√3， G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°， ∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=❑√22AB=❑√22×2❑√3=❑√6，∴GH=❑√62，即GH的最小值为❑√62，故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．△ABP和△CRP的面积和不变思路指引：连接AR，根据三角形的中位线定理可得EF¿12AR，根据AR的变化情况即可判断．解：连接AR， E，F分别是AP，RP的中点，∴EF¿12AR， 当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，∴线段EF的长逐渐增大．S△ABP+S△CRP¿12BC•（AB+CR）． CR随着点R的运动而减小，∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．典例3如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．（1）求证：PM＝PN；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）求∠MPN的...