小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com函数与导数(11)1．[2018·北京卷]设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解析：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是.2．[2019·安徽省安庆市高三模拟]已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.解析：解法一(1)f′(x)＝－a(x>0)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e，由(1)知，当a＝e时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.设g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝，所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.所以当x>0时，f(x)≤g(x)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.解法二(1)同解法一．(2)证明：由题意知，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0(x>0)，从而等价于lnx－x＋2≤.设函数g(x)＝lnx－x＋2，则g′(x)＝－1.所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.设函数h(x)＝，则h′(x)＝.所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0.故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.3．[2019·甘肃第二次诊断]已知函数f(x)＝2x2－ax＋1＋lnx(a∈R)．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝5，求f(x)的单调区间；(3)若3<a≤4，证明：f(x)在x∈[1，e]上有唯一零点．解析：(1)若a＝0，则f(x)＝2x2＋1＋lnx，f′(x)＝4x＋，故f′(1)＝5，即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为5，又f(1)＝3，所以所求切线方程为y－3＝5(x－1)，即5x－y－2＝0.(2)当a＝5时，f(x)＝2x2－5x＋1＋lnx，其定义域为(0，＋∞)，f(x)＝4x－5＋＝，当x∈，(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在和(1，＋∞)上单调递增．当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．(3)由f(x)＝2x2－ax＋1＋lnx得f′(x)＝＋4x－a＝.设h(x)＝4x2－ax＋1，Δ＝a2－16，当3<a≤4时，Δ≤0，有h(x)≥0，即f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝3－a<0，f(e)＝2e2－ae＋2＝e(2e－a)＋2>0，所以f(x)在x∈[1，e]上有唯一零点．4．[2019·武汉调研]已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，其中a为常数．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)当1<a≤2时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，求g(x)＝xln＋ln(1＋x)的最大值．解析：(1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝，x>－1.①当－1<2a－3<0，即1<a<时，当－1<x<2a－3或x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当2a－3<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．②当2a－3＝0，即a＝时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a－3>0，即a>时，当－1<x<0或x>2a－3时，f′(x)>0，则f(x)在(－1,0)，(2a－3，＋∞)上单调递增，当0<x<2a－3时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2a－3)上单调递减．综上，当1<a<时，f(x)在(－1,2...