第1页|共4页2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.双曲线𝑥29−𝑦2=1的实轴长为．2.函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥−sin2𝑥+1的周期为．3.已知𝑎∈𝑅，行列式|𝑎132|的值与行列式|𝑎041|的值相等，则𝑎＝．4.已知圆柱的高为4，底面积为9𝜋，则圆柱的侧面积为．5.𝑥﹣𝑦≤0，𝑥+𝑦﹣1≥0，求𝑧＝𝑥+2𝑦的最小值．6.二项式(3+𝑥)𝑛的展开式中，𝑥2项的系数是常数项的5倍，则𝑛＝．7.若函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥−1𝑥<0𝑥+𝑎𝑥>00𝑥=0，为奇函数，求参数𝑎的值为．8.为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．9.已知等差数列{𝑎𝑛}的公差不为零，𝑆𝑛为其前𝑛项和，若𝑆5=0，则𝑆𝑖(𝑖=0,1,2,…,100)中不同的数值有个．10.若平面向量|→𝑎|=|→𝑏|=|→𝑐|=𝜆，且满足→𝑎⋅→𝑏=0，→𝑎⋅→𝑐=2，→𝑏⋅→𝑐=1，则𝜆＝．11.设函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓11+𝑥对任意𝑥∈[0,+∞)都成立，其值域是𝐴𝑓，已知对任何满足上述条件的𝑓(𝑥)都有{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),0≤𝑥≤𝑎}=𝐴𝑓，则𝑎的取值范围为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.1.若集合𝐴＝[﹣1,2)，𝐵＝𝑍，则𝐴∩𝐵＝（）A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣1,0,1}C.{﹣1,0}D.{﹣1}2.若实数𝑎、𝑏满足𝑎＞𝑏＞0，下列不等式中恒成立的是（）A.𝑎+𝑏>2𝑎𝑏B.𝑎+𝑏<2𝑎𝑏C.𝑎2+2𝑏>2𝑎𝑏D.𝑎2+2𝑏<2𝑎𝑏3.如图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑃、𝑄、𝑅、𝑆分别为棱𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐵𝐵1、𝐶𝐷的中点，联结𝐴1𝑆，𝐵1𝐷．空间任意两点𝑀、𝑁，若线段𝑀𝑁上不存在点在线段𝐴1𝑆、𝐵1𝐷上，则称𝑀𝑁两点可视，则下列选项中与点𝐷1可视的为（）第2页|共4页A.点𝑃B.点𝐵C.点𝑅D.点𝑄4.设集合𝛺=(𝑥,𝑦)|(𝑥−𝑘)2+𝑦−𝑘22=4|𝑘|,𝑘∈𝑍①存在直线𝑙，使得集合𝛺中不存在点在𝑙上，而存在点在𝑙两侧；②存在直线𝑙，使得集合𝛺中存在无数点在𝑙上；（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.1.如图所示三棱锥，底面为等边△𝐴𝐵𝐶，𝑂为𝐴𝐶边中点，且𝑃𝑂⊥底面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑃＝𝐴𝐶＝2．（1）求三棱锥体积𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶；（2）若𝑀为𝐵𝐶中点，求𝑃𝑀与面𝑃𝐴𝐶所成角大小．2.𝑓(𝑥)=log3(𝑎+𝑥)+log3(6−𝑥)．（1）若将函数𝑓(𝑥)图像向下移𝑚(𝑚>0)后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数𝑎，𝑚的值．（2）若𝑎>﹣3且𝑎≠0，求解不等式𝑓(𝑥)≤𝑓6﹣𝑥．3.如图，在同一平面上，𝐴𝐷＝𝐵𝐶＝6，𝐴𝐵＝20，𝑂为𝐴𝐵中点，曲线𝐶𝐷上任一点到𝑂距离相等，∠𝐷𝐴𝐵＝∠𝐴𝐵𝐶＝120∘，𝑃，𝑄关于𝑂𝑀对称，𝑀𝑂⊥𝐴𝐵；第3页|共4页（1）若点𝑃与点𝐶重合，求∠𝑃𝑂𝐵的大小；（2）𝑃在何位置，求五边形𝑀𝑄𝐴𝐵𝑃面积𝑆的最大值．4.设有椭圆方程𝛤:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，直线𝑙:𝑥+𝑦−42=0，𝛤下端点为𝐴，𝑀在𝑙上，左、右焦点分别为𝐹1(−2,0)、𝐹2(2,0)．（1）𝑎＝2，𝐴𝑀中点在𝑥轴上，求点𝑀的坐标；（2）直线𝑙与𝑦轴交于𝐵，直线𝐴𝑀经过右焦点𝐹2，在△𝐴𝐵𝑀中有一内角余弦值为35，求𝑏；（3）在椭圆𝛤上存在一点𝑃到𝑙距离为𝑑，使|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+𝑑=6，随𝑎的变化，求𝑑的最小值．5.数列{𝑎𝑛}对任意𝑛∈𝑁∗且𝑛≥2，均存在正整数𝑖∈[1,𝑛﹣1]，满𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛−𝑎𝑖，𝑎1=1，𝑎2=3．（1）求𝑎4可能值；（2）命题𝑝：若𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎8成等差数列，则𝑎9<30，证明𝑝为真，同时写出𝑝逆命题𝑞，并判断命题𝑞是真是假，说明理由；（3）若𝑎2𝑚=3𝑚，(𝑚∈𝑁∗)成立，求数列{𝑎𝑛}的通项公式．第4页|共4页