免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3.3幂函数【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：求函数解析式题型三：定义域问题题型四：值域问题题型五：幂函数的图象题型六：定点问题题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题题型八：比较大小题型九：幂函数性质的综合运用【典型例题】题型一：幂函数的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（）A．B．C．D．【答案】C免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.例4．（2022·河北·高一阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;是偶函数，所以排除C；，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.题型二：求函数解析式例5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】【解析】设幂函数， 幂函数的图象经过点，∴，∴，∴这个幂函数的解析式为．故答案为：．【方法技巧与总结】免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．例6．（2022·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________．【答案】1【解析】因为为幂函数，所以，解得或，当时为偶函数，函数图象关于轴对称，符合题意；当时为奇函数，函数...