第1页，共7页2024-2025学年安徽省蚌埠市A层高中高一下学期第四次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若一扇形的圆心角为25𝜋，半径为20𝑐𝑚，则扇形的面积为()A.40𝜋𝑐𝑚2B.80𝜋𝑐𝑚2C.40𝑐𝑚2D.80𝑐𝑚22.若𝛼是第二象限的角，则下列结论一定成立的是()A.𝑠𝑖𝑛𝛼2>0B.𝑐𝑜𝑠𝛼2>0C.𝑡𝑎𝑛𝛼2>0D.𝑠𝑖𝑛𝛼2𝑐𝑜𝑠𝛼2<03.在斜三角形𝐴𝐵𝐶中，“𝐴<𝐵”是“𝑡𝑎𝑛𝐴<𝑡𝑎𝑛𝐵”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知cos(𝜋3−𝛼)+sin(4𝜋3+𝛼)=0，则cos(2𝛼−𝜋6)=()A.12B.32C.−12D.−325.已知函数𝑓(𝑥)=32sin2𝑥+32cos2𝑥，则下列选项错误的是()A.𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋B.曲线𝑦=𝑓(𝑥)关于点(𝜋3,0)中心对称C.𝑓(𝑥)的最大值为3D.曲线𝑦=𝑓(𝑥)关于直线𝑥=𝜋6对称6.已知方程sin(14𝑥−𝜋8)=12在区间[0,8𝜋]上有两个不相等的实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2=()A.3𝜋B.4𝜋C.5𝜋D.6𝜋7.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长𝑙与太阳天顶距𝜃(0∘≤𝜃≤80∘)的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长𝑙等于表高ℎ与太阳天顶距𝜃正切值的乘积，即𝑙=ℎtan𝜃.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为𝛼，𝛽，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且cos2𝛼+sin2𝛼=−15，则tan(𝛼−𝛽)的值为()A.17B.−17C.13D.−138.已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝜔𝑥+𝜋4(𝜔>0)，若方程|𝑓(𝑥)|=1在区间(0,2𝜋)上恰有5个实根，则𝜔的取值范围是()第2页，共7页A.43,53B.54,43C.32,53D.54,32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列式子的运算结果为3的是()A.1+tan15°1−tan15°B.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°C.sin50∘(3+3tan10°)D.2tan15°1−tan215°10.已知𝛼，𝛽均为锐角，2cos𝛼=sin(𝛼+𝛽)，则下列说法正确的是()A.若𝛽=𝜋6，则𝛼=𝜋3B.若𝛼+2𝛽=𝜋2，则sin𝛽=12C.若𝛽>𝜋6，则𝛼+𝛽>𝜋2D.𝛼的最小值为𝜋311.已知函数𝑓(𝑥)=|cos𝑥|，𝑔(𝑥)=sin|𝑥|，则()A.𝑔(𝑥)的最小正周期为𝜋B.𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋C.函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋2对称D.函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)的值域为[−1,2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知sin𝜃=13，则sin(5𝜋2−2𝜃)=13.设函数𝑓(𝑥)=cos(3𝑥+𝜑)−3sin(3𝑥+𝜑)(0<𝜑<𝜋)，若𝑓(𝑥)是奇函数，则𝜑=14.已知2sin𝛽−cos𝛽+2=0，sin𝛼=2sin(𝛼+𝛽)，则tan(𝛼+𝛽)=。四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在平面直角坐标系中，角𝛼的终边经过点(−3,−4)。(1)求sin𝛼，cos𝛼的值;(2)求sin(𝛼+𝜋2)⋅cos(9𝜋2−𝛼)⋅cos(3𝜋2+𝛼)sin(2𝜋−𝛼)⋅sin(𝜋+𝛼)的值。16.(本小题12分)(1)已知𝛼是第三象限角，且tan𝛼是方程𝑥2−𝑥−2=0的一个实根，求sin2𝛼−2sin𝛼cos𝛼+3cos2𝛼的值;(2)已知sin𝛼−cos𝛼=12，且𝛼∈(0,𝜋)，求1sin𝛼+1cos𝛼的值．第3页，共7页17.(本小题12分)已知函数𝑓(𝑥)=2cos(2𝑥−𝜋3)+𝑎+1，当𝑥∈[0,𝜋2]时，𝑓(𝑥)的最大值为4。(1)求函数𝑓(𝑥)在[0,𝜋2]上的单调区间;(2)若𝑥∈[−𝜋,𝜋]且满足𝑓(𝑥)=1，求𝑥的取值集合。18.(本小题12分)已知函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥+sin𝑥⋅cos𝑥−12．(1)𝑓(𝛼)=26，𝛼∈(−𝜋8,3𝜋8)，求sin2𝛼的值;(2)对任意的𝑥∈[𝜋24,𝜋2]，都有|22𝑓(𝑥)+log2𝑘|≤2，求实数𝑘的取值范围。19.(本小题12分)已知函数𝑓(𝑥)=2cos𝑥⋅sin(𝑥+𝜋3)−32(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间;(2)求函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥2)𝑓(𝑥2−𝜋6)在[0,𝜋2]上的最大值和最小值;(3)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝜋12−𝑥)+𝑚𝑓(𝑥2−𝜋6)在(0,𝑛𝜋)(𝑛∈𝑁∗)内恰有781个零点，求实数𝑚、𝑛的值。第4页，共7页参考答案1.𝐵2.𝐶3.𝐷4.𝐴5.𝐵6.𝐶7.𝐴8.𝐷9.𝐴𝐵𝐶10.𝐴𝐶𝐷11.𝐵𝐷12.7913.𝜋614.1215.解：(1) 角𝛼的终边经过点(−3,−4)，∴𝑟=𝑥2+𝑦2=(−3)2+(−4)2=5，∴sin𝛼=𝑦𝑟=−45，cos𝛼=𝑥𝑟=−35=−35(2)sin(𝛼+𝜋2)⋅cos(9𝜋...