免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题02平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧与总结】（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.为的内心.（2）外心：为的外心.（3）垂心：为的垂心.（4）重心：为的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心【答案】D免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.故选：D例2．（2023春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为，所以为中点，又因为G是的重心，所以，又因为为中点，所以，所以，所以，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以.故选：A例3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，由已知得，因为，所以，又因为点是的重心，所以，则，又因为，所以，则，又由余弦定理得，所以，整理得，因为，令，则，所以，则.故选：D.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com变式1．（多选题）（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】如图：对于选项A，，即选项A错误；对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；对于选项C，，即选项C正确；对于选项D，，即，即选项D正确，故选：BCD．变式2．（2023秋·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心【答案】B【解析】如图，取的中点，连接，则．又，，即．又，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com点在射线上．故的轨迹过的重心．故选：B．变式3．（2023春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且，则的最小值是_____．【答案】【解析】延长交于点，则点为的中点，且，故，又因为，所以，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：.题型二：内心定理例4．（2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知点P为的内心，，若，则______．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【答案】【解析】在，由余弦定理得,设分别是边上的切点，设，则，所以，由得，，即，①同理由,②联立①②以及即可解得：，故答案为：例5．（多选题）（2023·高一单元测试）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABC【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com对于C选项，由正弦定理得，...