免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题02平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧与总结】（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.为的内心.（2）外心：为的外心.（3）垂心：为的垂心.（4）重心：为的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例2．（2023春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（）A．B．C．D．1例3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（）A．B．C．D．变式1．（多选题）（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．变式2．（2023秋·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心变式3．（2023春·上海浦东新·高一上海中学东校校考期末）已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且，则的最小值是_____．题型二：内心定理例4．（2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知点P为的内心，，若，则______．例5．（多选题）（2023·高一单元测试）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comC．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心例6．（多选题）（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（）A．若A＝30°，，，则△ABC有两解B．若，则角A最大值为30°C．若，则△ABC为锐角三角形D．若，则直线AP必过△ABC内心变式4．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心变式5．（2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心变式6．（2023·全国·高一假期作业）已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（）A．重心B．内心C．外心D．垂心变式7．（2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．B．C．D．题型三：外心定理例7．（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（）A．B．C．D．例8．（2023·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．例9．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知为的外心，，则的值为（）A．B．C．D．变式8．（2023春·四川成都·高一统考期末）设O为的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为（）①；②；③.A．3B．2C．1D．0变式9．（2023春·湖北武汉·高一校联考期末）在中，是边上的点，且为的外心，则（）A．3B．C．D．变式10．（2023春·河南许昌·高一统考期末）已知P在所在平面内，满足，则P是的（）A．...