免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设，则，①②①②两式相加得：（2）极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）【典型例题】题型一：定值问题MCBA免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（）A．4B．8C．D．【答案】C【解析】因为是的中点，，是上的两个三等分点，所以，，，，所以，，可得，，又因为，所以，故选：C．例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】依题意，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，则，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com，因此，故选：B.例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则A．B．C．D．【答案】A【解析】取HF中点O，则,，因此，选A.题型二：范围与最值问题例4．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.【答案】【解析】如下图所示：设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，，当为正方形的某边的中点时，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com当与正方形的顶点重合时，，即，因此，.故答案为：.例5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.【答案】【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，如图所示：则，，，，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com则，所以，即的取值范围为.故答案为：例6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．【答案】【解析】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则所以得，所以，，所以直线方程为，圆的方程为，所以，，的中点，则因为，所以故，所以的最大值为故答案为：例7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【答案】【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．设，，，在中，由勾股定理得，则，BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等边中，F为MN中点，则，，，在中，由余弦定理得，当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，当且仅当时等号成立．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com 关于b的函数在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立．∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．例8．（2022·陕西榆林·三模（文））四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】由题设，，取的中点，连接，，，则，，所以.故答案为：例9．（2022·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，则，，所以，免费...