免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设，则，①②①②两式相加得：（2）极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，MCBA免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com，，则的值是（）A．4B．8C．D．例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（）A．B．C．1D．2例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则A．B．C．D．题型二：范围与最值问题例4．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.例5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．例7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．例8．（2022·陕西榆林·三模（文））四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________.例9．（2022·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C．D．题型三：求参问题以及其它问题例10．（2023春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．例11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com例12．（2022·全国·高一）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.【同步练习】1．（2022·四川凉山·三模（理））已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．43．（2022·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com，则的最小值为（）A．16B．12C．5D．44．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，O为坐标原点，则的最小值为（）．A．B．C．D．5．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（）A．5B．6C．7D．86．（2022·江西·二模（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且，其中实数x，y满足，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．77．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）半径为2的圆上有三点满足，点是圆内一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．8．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考...