免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题06三角形中的范围与最值问题【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：与正切有关的最值问题题型七：最大角问题题型八：三角形中的平方问题题型九：等面积法、张角定理【方法技巧与总结】1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【典例例题】题型一：周长问题例1．（2023·云南·昆明市第三中学高一期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．(1)求A；(2)从三个条件：①的面积为；②；③中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围．【解析】(1)在中，由得：，又，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com，即，，又，．(2)选择①：因为，则，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以，即的周长的取值范围是．选择②：，因为，，由正弦定理得，，即的周长，因为，则，故，所以，即的周长的取值范围是．选择③：．因为，，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，则，即的周长的取值范围是.例2．（2023·重庆·高一阶段练习）已知向量，，函数．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(1)求函数在上的值域；(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．【解析】(1)依题意，，由得，，所以在上的值域为.(2)由得，，，则有，解得，在中，由余弦定理得，，当且仅当时取“=“，即有，又因为，则，因此，所以的周长的取值范围为．题型二：面积问题例3．（2023·贵州黔东南·高一期中）在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC为锐角三角形，记，求m的取值范围.【解析】(1)解：在中，由三角形面积公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故.(2)解：因为为锐角三角形，所以，，所以，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com所以，因为，所以，故.例4．（2023·浙江·高二阶段练习）在中，角的对边分别为．(1)求角；(2)若点满足，且，求面积的取值范围．【解析】(1)因为，所以，且．(2)，．，．．因为点满足，所以,免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com．例5．（2023·浙江·杭师大附中模拟预测）在中，D的边的中点，．(1)求角C；(2)求面积的取值范围．【解析】(1)因为，所以所以，故，又；所以.(2)在中，由余弦定理可得因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以面积．题型三：长度问题例6．（2023·辽宁·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)设，若的外接圆半径为4，且有最大值，求m的取值范围．【解析】(1)解：由已知及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因为，所以．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(2)由正弦定理得，所以，其中，，又，所以，若存在最大值，则有解，则，即，所以解得，即m的取值范围是（1，4）．例7．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定远中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，当且仅当时...