小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题02直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..............................................1二、典型题型..............................................2题型一：求线面角.......................................2题型二：已知线面角求参数...............................8题型三：求线面角最值（范围）..........................18三、专项训练.............................................26一、必备秘籍1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3、向量法设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，.二、典型题型题型一：求线面角1．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是．【答案】【分析】设，结合等积法，可求出当的体积最小时，，分别是所在棱的中点；法一，根据，可求出点到平面的距离为，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】设，则．由等体积法，得，当且仅当，即时，等号成立．所以当的体积最小时，，分别是所在棱的中点．方法一易知，，．由余弦定理，得，所以，所以．设点到平面的距离为．根据，得，解得．所以与平面所成角的正弦值为．方法二以点为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，得，，则．设与平面所成的角为，则．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故答案为：2．（23-24高二上·江西赣州·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解.【详解】由题意知，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，,,,,,,,设平面的法向量为，，即，取设直线PC与平面BDE所成角为.故答案为：.3．（23-24高二上·北京·期末）在空间直角坐标系中，若直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成角的正弦值等于.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】/【分析】利用空间向量的坐标求出直线与平面法向量夹角的余弦值，即可得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】直线与平面所成角的正弦值即直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值．设直线与平面所成的角为，则：所以.故答案为：.4．（23-24高二上·四川成都·期末）正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为．【答案】【分析】根据空间向量法求线面角，即可求解.【详解】以D为原点建系如下，则，，，，，得，设，，，则，因为，所以，解得，，设平面AB1C的一个法向量为，则，令，得，所以，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为.故答案为：．5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.(1)证明：平面；(2)若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.【...