小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题03平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..............................................1二、典型题型..............................................2题型一：求二面角.......................................2题型二：已知二面角求参数..............................10题型三：求二面角最值（范围）..........................21三、专项训练.............................................34一、必备秘籍1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线、,则称为二面角的平面角.2、二面角的范围：3、向量法求二面角平面角（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）二、典型题型题型一：求二面角1．（2024·河北沧州·一模）已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解.【详解】如图，以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，正四棱柱的底面边长为，则，所以则，设平面与平面的法向量分别为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，令，则，，令，则，设向量的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.故答案为：2．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D的夹角的余弦值为．【答案】【详解】以A为坐标原点，以面ABC内垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．因为ABC-A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，所以A(0，0，0)，B1(a，，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)，故AB1＝(a，，a)，＝(0，a，)，DC1＝(0，0，).设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则z＝－2，x＝，故n＝(，1，－2).又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，所以平面ABC与平面AB1D的夹角的余弦值为.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【考查意图】考查向量法求二面角3．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为．【答案】【分析】设点是线段的中点，由得，根据已知得，进而得到平面，，可建如图所示的空间坐标系，利用向量法求解.【详解】设点是线段的中点，连接,由得，由得，所以，又正方形中,,平面,平面,故平面，又平面,所以,在平面内，过作，交于，则，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.故答案为：.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．（2024·湖北黄石·三模）如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点，，平面.(1)求证：平面平面；(2)如果，，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）易得，根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）易得两两垂直，求出，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为，，分别是侧棱，，的中点，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，又平面，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）因为平面，平面，所以，因为，所以，所以，因为平面，，所以平面，又平面，所以，所以两两垂直，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，因为平面，所以即为平...