小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点专项突破04相似三角形中的“一线三等角”模型【知识梳理】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。一般类型：基本类型：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，点E在边BC上，且，AD=10，求的面积．【答案】24．【解析】，，．又，．．．，．．在中，，．．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．例2.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．EDCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明： △ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，∴＝，设CD＝x，则BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．例3.已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中点D为顶点作，分别交AB、AC于点E、F，AE=6，AF=4，求底边BC的长．【答案】．【解析】，FEDCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而，．又，．，．．．，．又，．【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．例4.已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD//BC，∴∠ABC=∠AEC=∠PDC=90°，CE=AB=3． AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°．即得∠A=90°．又 ∠ADC=∠DCE+∠DEC，∠ADC=∠ADP+∠PDC，∴∠ADP=∠DCE．又由∠A=∠DEC=90°，得△APD∽△DCE．∴．于是，由AP=AD=2，得DE=CE=3．…………………………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得，．…………………………………………（1分）于是，在Rt△PDC中，得．（1分）（2）在Rt△APD中，由AD=2，AP=x，得．……………………………………………………（1分） △APD∽△DCE，∴．PDCBA（备用图）DCBA小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴．…………………………………………（1分）在Rt△PCD中，．∴所求函数解析式为．…………………………………（2分）函数的定义域为0<x≤3．…………………………………………（1分）（3）当△APD∽△DPC时，即得△APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）根据题意，当△APD∽△DPC时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P与点B不重合时，可知∠APD=∠DPC．由△APD∽△DCE，得．即得．由△APD∽△DPC，得．∴．即得DE=AD=2．∴AE=4．易证得四边形ABCE是矩形，∴BC=AE=4．…………………（2分）（ⅱ）当点P与点B重合时，可知∠ABD=∠DBC．在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得．由△ABD∽△DBC，得．即得．解得．………………………………………………………（2分）∴△APD∽△DPC时，线段BC的长...