小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第13讲二次函数中三角形的存在性（核心考点讲与练）【基础知识】1.知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：．2.解题思路：利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．【考点剖析】题型一：二次函数中直角三角形的存在性1.（2019嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．【分析】（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）先求出点C坐标，从而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，据此知∠DBO=30°或60°，依据DO=BO•tan∠DBO求出得DO＝或3，从而得出答案；（3）设P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点B、点C和点P直角顶点三种情况分别求解可得．【详解】（1）依题意得：，解得：∴抛物线的表达式是（2） 抛物线与轴交点为点∴点的坐标是，又点的坐标是∴∴或在直角△中，∴或，∴或.（3）由抛物线得：对称轴是直线根据题意：设，又点的坐标是，点的坐标是∴，，，①若点为直角顶点，则即：解之得：，②若点为直角顶点，则即：解之得：，③若点为直角顶点，则即：解之得：，.综上所述的坐标为或或或.【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．题型二：函数中的等腰三角形分类讨论2.(2019闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．为小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．整体分析：（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，从而得到结论；（3）令Q（x，y）且满足，由△ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0．解方程组，即可得到结论．满分解答：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得：，解得：．∴抛物线的解析式是：，∴顶点坐标D（－1，4）．（2）令y=0，则，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．又 ∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．（3）令Q（x，y）且满足，A(－3，0），D（－1，4）． △ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即，化简得：x-2+2y=0．由，解得：，，∴点Q的坐标是（，），（，）．题型二：函数中的等腰直角三角形分类讨论3．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得...