板块一函数与导数创新点1以高等数学知识为背景的导数问题高考定位1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.精准强化练题型一拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理题型二帕德近似题型三微积分、洛必达法则题型突破例1题型一拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理(2024·济宁模拟)已知函数f(x)＝lnx－12ax2＋12(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax＝1－ax2x，①若a≤0，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.②若a>0，x∈0，1a时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈1a，＋∞时，f′(x)<0，f(x)单调递减.综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.(2)若0<x1<x2，证明：对任意a∈(0，＋∞)，存在唯一的实数ξ∈(x1，x2)，使得f′(ξ)＝f（x2）－f（x1）x2－x1成立；令F(x)＝f′(x)－f（x2）－f（x1）x2－x1(x>0)，则F(x)＝1x－ax－lnx2－12ax22－lnx1＋12ax21x2－x1＝1x－ax－lnx2－lnx1x2－x1＋12a(x2＋x1)，因为a>0，所以F(x)＝1x－ax－lnx2－lnx1x2－x1＋12a(x2＋x1)在区间(x1，x2)上单调递减.F(x1)＝1x1－ax1－lnx2－lnx1x2－x1＋12a(x2＋x1)＝1x1－lnx2－lnx1x2－x1＋12a(x2－x1)＝1x2－x1x2x1－1－lnx2x1＋12a(x2－x1).令g(t)＝t－1－lnt，t>0，则g′(t)＝1－1t＝t－1t，所以t∈(0，1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，所以g(t)min＝g(1)＝0，又0<x1<x2，所以x2x1>1，所以gx2x1＝x2x1－1－lnx2x1>0恒成立，又因为a>0，x2－x1>0，所以F(x1)>0.同理可得，F(x2)＝1x2－x11－x1x2－lnx2x1＋12a(x1－x2)，由t－1－lnt≥0(t＝1时等号成立)得，1t－1－ln1t≥0，即1－1t－lnt≤0(t＝1时等号成立)，又0<x1<x2，所以0<x1x2<1，所以1－x1x2－lnx2x1<0恒成立，又因为a>0，x1－x2<0，x2－x1>0，所以F(x2)<0，所以区间(x1，x2)上存在唯一实数ξ，使得F(ξ)＝0，所以对任意a∈(0，＋∞)，存在唯一的实数ξ∈(x1，x2)，使得f′(ξ)＝f（x2）－f（x1）x2－x1成立.(3)设an＝2n＋1n2，n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn.证明：Sn>2ln(n＋1).当a＝1时，由(1)可得，f(x)＝lnx－12x2＋12在(1，＋∞)上单调递减.所以x>1时，f(x)<f(1)＝0，即lnx－12x2＋12<0.令x＝n＋1n，n∈N*，则lnn＋1n－12n＋1n2＋12<0，即n＋1n2－1>2ln(n＋1)－2lnn，即2n＋1n2>2ln(n＋1)－2lnn，令bn＝2ln(n＋1)－2lnn，n∈N*，则an>bn，所以a1＋a2＋a3＋…＋an>b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2ln2－2ln1＋2ln3－2ln2＋…＋2ln(n＋1)－2lnn＝2ln(n＋1)，所以Sn>2ln(n＋1).规律方法1.本题第二问实际上是拉格朗日中值定理，其内容如下若函数f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导.则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝f（b）－f（a）b－a.2.解决以拉格朗日中值定理为背景的问题的一般步骤(1)研究f(x)的单调性；(2)自定义x1，x2的大小，并判断f(x1)、f(x2)的大小，去掉分母或绝对值；(3)构造新函数F(x)，转化为新函数的单调性或最值解决问题.罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a，b]上连续，②在开区间(a，b)内可导，③f(a)＝f(b)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.据此，解决以下问题：(1)证明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根，其中a，b，c∈R；训练1设F(x)＝ax4＋bx3＋cx2－(a＋b＋c)x，x∈[0，1]，则F′(x)＝4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)...