板块一函数与导数提优点3同构函数知识拓展同构法在近几年的模考中频繁出现，首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数单调性解题.精准强化练类型一地位同等同构型类型二指对跨阶同构型类型三零点同构型类型突破类型一地位同等同构型含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种：(1)g(x1)－g(x2)>λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)；(2)f（x1）－f（x2）x1－x2>k(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)<kx1－kx2⇔f(x1)－kx1<f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f(x)－kx；(3)f（x1）－f（x2）x1－x2<kx1x2(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)>k（x1－x2）x1x2＝kx2－kx1⇔f(x1)＋kx1>f(x2)＋kx2，构造函数φ(x)＝f(x)＋kx.(1)(2024·温州统考)已知x，y∈R，则“x>y>1”是“x－lnx>y－lny”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例1√设f(t)＝t－lnt，t>0，则f′(t)＝1－1t＝t－1t，由f′(t)>0得t>1，由f′(t)<0得0<t<1，∴f(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.∴当x>y>1时，f(x)>f(y)，即x－lnx>y－lny成立，故充分性成立.但x－lnx>y－lny成立时，可能有x＝1e，y＝1，此时x<y，故必要性不成立.综上，“x>y>1”是“x－lnx>y－lny”的充分不必要条件.故选A.√(2)若0＜x1＜x2＜a，都有x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2成立，则a的最大值为A.12B.1C.eD.2e由x2lnx1－x1lnx2≤x1－x2，两边同除以x1x2得lnx1x1－lnx2x2≤1x2－1x1，即lnx1x1＋1x1≤lnx2x2＋1x2，令f(x)＝lnxx＋1x，则f(x)在(0，a)上单调递增.∴f′(x)≥0在(0，a)上恒成立，而f′(x)＝－lnxx2，可知f(x)在(0，1)上单调递增，∴a≤1，∴a的最大值为1，故选B.含有地位同等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题.规律方法训练1(1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2√由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又 22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.故选B.√(2)(2024·宜宾调研)若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，x1lnx2－x2lnx1x2－x1＜2，则m的最小值是A.e2B.eC.1D.1e对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，x1lnx2－x2lnx1x2－x1＜2，易知m≥0，则x1lnx2－x2lnx1＜2x2－2x1，所以x1(lnx2＋2)＜x2(lnx1＋2)，即lnx1＋2x1＞lnx2＋2x2，令f(x)＝lnx＋2x，则函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减，因为f′(x)＝－lnx＋1x2，由f′(x)＜0，可得x＞1e，所以f(x)的单调递减区间为1e，＋∞，所以(m，＋∞)⊆1e，＋∞，所以m≥1e，因此，实数m的最小值为1e.类型二指对跨阶同构型1.对于一个指数、直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：①指对跨阶，②单调性和最值易求.2.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝elnx，xex＝elnx＋x，x2ex＝e2lnx＋x，exx＝e－lnx＋x，lnx＋lna＝ln(ax)，lnx－1＝lnxe，有时也需要对等式两边同时加、乘某式等.例2考向1指对同构与恒成立问题(2024·重庆调研节选)若对任意x∈(1，＋∞)，a(eax＋1)－2x＋1xlnx≥0恒成立，求a的取值范围.由题意知，a(eax＋1)－2x＋1xlnx≥0(x>1)恒成立，即a(eax＋1)≥2x＋1xlnx(x>1)恒成立(*).当a≤0时，a(eax＋1)≤0， x>1，∴2x＋1xlnx>0，∴当a≤0时，(*)不成立，故a>0.当a>0时，(*)整理得ax(eax＋1)≥2(x2＋1)·lnx(x>1)恒成立，即axeax＋ax≥x2lnx2＋lnx2＝lnx2·elnx2＋lnx2(x>1)恒成立.设g(t)＝tet＋t，t>0，则g′(t)＝(t＋1)et＋1>0在(0...