板块一函数与导数提优点2极值点偏移知识拓展已知f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足x1＋x22＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示；若x1＋x22≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示.精准强化练类型一对称化构造类型二比(差)值换元类型突破例1(2024·青岛质检节选)已知函数f(x)＝x2lnx－32，若函数f(x)在x＝e处取得极值，且f′(x1)＝f′(x2)，x1<x2，证明：2<x1＋x2.由f(x)＝x2lnx－32，得f′(x)＝x(2lnx－2)＝2x(lnx－1).令g(x)＝2x(lnx－1)，则g′(x)＝2lnx，当x＝1时，g′(x)＝0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当x∈(0，e)时，g(x)＝2x(lnx－1)<0，当x∈(e，＋∞)时，g(x)＝2x(lnx－1)>0，故0<x1<1<x2<e.类型一对称化构造要证x1＋x2>2，只需证x2>2－x1，因为x1<1，所以2－x1>1，下面证明g(x1)＝g(x2)>g(2－x1).即证g(x1)>g(2－x1)，设t(x)＝g(2－x)－g(x)，x∈(0，1)，则t′(x)＝－g′(2－x)－g′(x)，t′(x)＝－2ln(2－x)－2lnx＝－2ln[(2－x)x]>0，故t(x)在(0，1)上单调递增，故t(x)<t(1)＝g(1)－g(1)＝0，所以t(x1)＝g(2－x1)－g(x1)<0，则g(2－x1)<g(x2)，所以2－x1<x2，即得x1＋x2>2.规律方法对称化构造主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x20，则令F(x)＝f(x)－fx20x.(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系.(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.已知函数f(x)＝ex－xlnx＋x2－ax.(1)证明：若a≤e＋1，则f(x)≥0；训练1因为f(x)定义域为(0，＋∞)，所以f(x)≥0等价于exx－lnx＋x－a≥0.设g(x)＝exx－lnx＋x－a，则g′(x)＝（ex＋x）（x－1）x2，当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，所在g(x)在(0，1)单调递减，g(x)在(1，＋∞)单调递增，故g(x)≥g(1)＝e＋1－a.因为a≤e＋1，所以g(x)≥0，于是f(x)≥0.(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.不妨设x1<x2，由(1)可知x1，x2也是g(x)的两个零点，且0<x1<1，x2>1，于是0<1x2<1，由于g(x)在(0，1)单调递减，故x1x2<1等价于g(x1)>g1x2.而g(x1)＝g(x2)＝0，故x1x2<1等价于g(x2)>g1x2.①设h(x)＝g(x)－g1x，则①式为h(x2)>0.因为h′(x)＝g′(x)－g′1x1x′＝（x－1）ex＋x－xe1x－1x2.设k(x)＝ex＋x－xe1x－1，当x>1时，k′(x)＝ex－e1x＋1xe1x＋1>0，故k(x)在(1，＋∞)单调递增，所以k(x)>k(1)＝0，从而h′(x)>0，因此h(x)在(1，＋∞)单调递增.又x2>1，故h(x2)>h(1)＝0，故g(x2)>g1x2，于是x1x2<1.例2(2024·杭州调研节选)已知函数f(x)＝x(lnx－a)，g(x)＝f（x）x＋a－ax.若g(x)的两个相异零点为x1，x2，求证：x1x2>e2.法一(等价变换后构商引参)由题意知，g(x)＝lnx－ax，不妨设x1>x2>0，由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2得ln（x1x2）＝a（x1＋x2），lnx1x2＝a（x1－x2），类型二比(差)值换元则ln（x1x2）lnx1x2＝x1＋x2x1－x2＝x1x2＋1x1x2－1，令t＝x1x2，则t>1，ln（x1x2）lnt＝t＋1t－1，即ln(x1x2)＝t＋1t－1lnt.要证x1x2>e2，只需证ln(x1x2)>2，只需证t＋1t－1lnt>2(t>1)，即证lnt>2（t－1）t＋1(t>1)，即证lnt－2（t－1）t＋1>0(t>1)，令m(t)＝lnt－2（t－1）t＋1(t>1)，因为m′(t)＝（t－1）2t（t＋1）2>0，所以m(t)在(1，＋∞)上单调递增，则当t∈(1，＋∞)时，m(t)>ln1－2×（1－1）1＋1＝0，所以lnt－2（t－1）t＋1>0成立，故x1x2>e2.法二(直接引入两变量之商作为变量...