板块一函数与导数微专题10导数与三角函数问题高考定位导数与三角函数的交汇问题是高考命题的热点问题，一般以解答题的形式出现，由于三角函数无论怎么求导仍是三角函数，所以此类问题难度较大.【难点突破】高考真题(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－sinxcos2x，x∈0，π2.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(cos2x)′＝(cosxcosx)′＝－sinxcosx＋cosx·(－sinx)＝－2sinxcosx，当a＝1时，f(x)＝x－sinxcos2x0<x<π2，所以f′(x)＝1－2－cos2xcos3x＝cos3x＋cos2x－2cos3x＝（cosx－1）（cos2x＋2cosx＋2）cos3x.因为x∈0，π2，所以cosx∈(0，1)，故f′(x)<0，故当a＝1时，f(x)在0，π2上单调递减.(2)若f(x)＋sinx<0，求a的取值范围.令g(x)＝f(x)＋sinx，则g′(x)＝a－2－cos2xcos3x＋cosx，x∈0，π2，令u(x)＝g′(x)，则u′(x)＝－2sinxcos4x＋3（1＋sin2x）cos2xsinxcos6x－sinx<0，所以u(x)在0，π2上单调递减，若g(x)＝f(x)＋sinx<0，又g(0)＝0，则g′(0)＝a－1＋1≤0，所以a≤0.当a＝0时，因为sinx－sinxcos2x＝sinx1－1cos2x，又x∈0，π2，所以0<sinx<1，0<cosx<1，所以1cos2x>1，所以f(x)＋sinx＝sinx－sinxcos2x<0，满足题意.当a<0时，因为x∈0，π2，所以ax<0，所以f(x)＋sinx＝ax－sinxcos2x＋sinx<sinx－sinxcos2x<0，满足题意.综上，a的取值范围为(－∞，0].样题1(2024·福州质检改编)已知函数f(x)＝sinx＋x2，证明：f(x)>－516.f′(x)＝cosx＋2x.令函数u(x)＝f′(x)，则u′(x)＝－sinx＋2>0，所以u(x)＝f′(x)是增函数.因为f′(0)＝1，f′－12＝cos12－1<0，所以存在x0∈－12，0，使得f′(x0)＝cosx0＋2x0＝0，即x20＝14cos2x0.所以当x∈(－∞，x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.f(x)≥f(x0)＝sinx0＋x20＝sinx0＋14cos2x0＝－14sin2x0＋sinx0＋14.因为x0∈－12，0，所以sinx0>sin－12>sin－π6＝－12，所以－14sin2x0＋sinx0＋14>－14×－122－12＋14＝－516.故f(x)>－516.样题2(2024·吕梁模拟节选)已知函数f(x)＝ex－cosx，若f(x)≥ax－12ax2对任意x∈R恒成立，求正实数a的取值集合.由题意得对任意x∈R，12ax2－ax＋ex－cosx≥0恒成立，令g(x)＝12ax2－ax＋ex－cosx，则g′(x)＝ax－a＋ex＋sinx，令h(x)＝ax－a＋ex＋sinx，则h′(x)＝a＋ex＋cosx，当a>1时，h′(x)>0，g′(x)单调递增，且g′(0)＝1－a<0，g′(1)＝e＋sin1>0，所以存在x0∈(0，1)使得g′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)<g(0)＝0，不合题意；当a＝1时，h′(x)>0，g′(x)单调递增，且g′(0)＝0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)>g(0)＝0，符合题意；当0<a<1时，得h′(x)在(－1，0)上单调递增，又h′(－1)＝a＋1e＋cos1>0，所以h′(x)>h′(－1)>0，g′(x)在(－1，0)上单调递增，又g′(0)＝1－a>0，g′(－1)＝－2a＋1e－sin1<－2a＋1e－sinπ4＝1e－2a－22<0，所以存在m∈(－1，0)使得g′(m)＝0，当x∈(m，0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)<g(0)＝0，不符合题意，综上，正实数a的取值集合为{1}.样题3(2024·长沙名校联考)设函数f(x)＝12sinx－xcosx，g(x)＝f(x)＋12sinx－ax3.(1)证明：当x∈0，π2时，f(x)有唯一零点.由题意，f′(x)＝xsinx－12cosx，令m(x)＝f′(x)，则当x∈0，π2时，m′(x)＝32sinx＋xcosx>0，∴f′(x)在0，π2上单调递增，又f′(0)＝－12，f′π2＝π2，∴存在t∈0，π2，使得f′(t)＝0，当x∈(0，t)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈t，π2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，且f(0)＝0，f...