板块一函数与导数微专题4导数与函数的单调性、极值、最值高考定位利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.【真题体验】1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为A.e2B.eC.e－1D.e－2√因为函数f(x)＝aex－lnx，所以f′(x)＝aex－1x.因为函数f(x)＝aex－lnx在(1，2)上单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)上恒成立，即aex－1x≥0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则0<1a≤xex在(1，2)上恒成立.设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以1a≤e，即a≥1e＝e－1，故选C.√2.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则A.bc>0B.ab>0C.b2＋8ac>0D.ac<0√√因为函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax2－bx－2cx3.因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，即b2＋8ac>0，ba>0，－2ca>0，所以b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，bc<0，故选B，C，D.√f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0，2π]，则f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0，2π].3.(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为A.－π2，π2B.－3π2，π2C.－π2，π2＋2D.－3π2，π2＋2令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝π2或x＝3π2.因为f(π2)＝cosπ2＋(π2＋1)sinπ2＋1＝2＋π2，f(3π2)＝cos3π2＋(3π2＋1)sin3π2＋1＝－3π2，又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，所以f(x)max＝f(π2)＝2＋π2，f(x)min＝f(3π2)＝－3π2.故选D.4.(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2·(x－4)，则A.x＝3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f(x2)C.当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D.当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)√因为f(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f′(x)>0；当1<x<3时，f′(x)<0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，故x＝1是函数f(x)的极大值点，x＝3是函数f(x)的极小值点，所以A正确；√√当0<x<1时，x－x2＝x(1－x)>0，即0<x2<x<1，又函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x2)<f(x)，所以B错误；当1<x<2时，1<2x－1<3，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以－4＝f(3)<f(2x－1)<f(1)＝0，所以C正确；当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(2－x－1)2(2－x－4)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－x－2)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(－2x＋2)＝－2(x－1)3>0，所以f(2－x)>f(x)，所以D正确.精准强化练热点一利用导数研究函数的单调性热点二利用导数研究函数的极值热点三利用导数研究函数的最值热点突破热点一利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.例1考向1求函数的单调区间已知f(x)＝a(x－lnx)＋2x－1x2，a∈R.讨论f(x)的单调性.f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－ax－2x2＋2x3＝（ax2－2）（x－1）x3.若a≤0，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；若a>0，f′(x)＝a（x－1）x3x－2ax＋2a.①当0<a<2时，2a>1，当x∈(0，1)∪2a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)和2a，＋∞上单调递增，当x∈1，2a时，f′(x)<0，f(x)单调递减.②当a＝2时，2a＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增.③当a>2时，0<2a<1，当x∈0，2a∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在0，2a和(1，＋∞)上单调递...