板块一函数与导数微专题6切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.【真题体验】√1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝ex＋2sinx1＋x2，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为A.16B.13C.12D.23f′(x)＝（ex＋2cosx）（1＋x2）－（ex＋2sinx）·2x（1＋x2）2，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，－13，0，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×1×13＝16，故选A.2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________.ln2由题意，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝1x＋1，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则1x0＋1＝2，得x0＝－12，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln－12＋1＋a，所以a＝ln2.3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝（x0＋a）ex0x0，化简得x20＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x20＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，___________.y＝1exy＝－1ex先求当x>0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－1ex.综上可知，两条切线方程为y＝1ex，y＝－1ex.精准强化练热点一曲线的切线热点二曲线的公切线热点突破热点一曲线的切线导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1√由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原点(0，0)代入切线方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.(1)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为A.y＝xB.y＝2xC.y＝1e2xD.y＝ex√(2)(2024·兰州调研)已知过点(0，－1)且与曲线f(x)＝－x3＋3a2x2－6x(x>0)相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A.(2，＋∞)B.(0，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，0)由曲线f(x)＝－x3＋3a2x2－6x(x>0)，可设切点坐标为t，－t3＋3a2t2－6t(t>0)，易知切线的斜率存在，由f′(x)＝－3x2＋3ax－6，可得切线的斜率k＝－3t2＋3at－6，从而切线方程为y＝－t3＋3a2t2－6t＋(－3t2＋3at－6)(x－t)，又切线过点(0，－1)，所以－1＝－t3＋3a2t2－6t＋(－3t2＋3at－6)(0－t)，整理得4t3－3at2＋2＝0，由题意可知方程有两个不相等的正实数解.令h(t)＝4t3－3at2＋2，则函数h(t)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令h′(t)＝12t2－6at＝0，可得t＝0或t＝a2.又h(0)＝2，结合h(t)的图象(如图)特征可知，要满足题意，需使a>0且ha2＝－14a3＋2<0，从而可得a>2.所以实数a的取值范围是(2，＋∞).故选A.求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.规律方法(1)已知曲线y＝xlnx＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝A.－1B.－2C.－3D.0训练1√由题意可得y′＝lnx＋1－ae－x，根据导...
