板块一函数与导数微专题7导数与不等式的证明高考定位导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、不等式及其性质等.【难点突破】(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；f′(x)＝aex－1，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，得x>－lna；令f′(x)<0，得x<－lna，所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.高考真题法一由(1)得当a>0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna.(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋32.令g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32＝a2－lna－12，a∈(0，＋∞)，所以g′(a)＝2a－1a，令g′(a)>0，得a>22；令g′(a)<0，得0<a<22，所以函数g(a)在0，22上单调递减，在22，＋∞上单调递增，所以函数g(a)的最小值为g22＝222－ln22－12＝ln2>0，所以当a>0时，f(x)>2lna＋32成立.法二当a>0时，由(1)得f(x)min＝f(－lna)＝1＋a2＋lna，故欲证f(x)>2lna＋32成立，只需证1＋a2＋lna>2lna＋32，即证a2－12>lna.构造函数u(a)＝lna－(a－1)(a>0)，则u′(a)＝1a－1＝1－aa，所以当a>1时，u′(a)<0；当0<a<1时，u′(a)>0，所以函数u(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以u(a)≤u(1)＝0，即lna≤a－1，故只需证a2－12>a－1，即证a2－a＋12>0.因为a2－a＋12＝a－122＋14>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2lna＋32成立.已知函数f(x)＝ex＋exlnx(其中e是自然对数的底数).求证：f(x)≥ex2.样题1要证f(x)≥ex2，即证ex＋exlnx≥ex2(x>0)，即ex－1x＋lnx－x≥0，令g(x)＝ex－1x＋lnx－x(x>0)，则g′(x)＝ex－1（x－1）x2＋1x－1＝ex－1（x－1）＋x－x2x2＝（x－1）（ex－1－x）x2.令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1，当x>1时，h′(x)>0；当0<x<1时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0.故当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是g(x)≥g(1)＝0，原不等式得证.样题2已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex，证明：f(x)＋2ex>g(－x).根据题意，g(－x)＝e－x，所以f(x)＋2ex>g(－x)等价于xlnx>xe－x－2e.设函数m(x)＝xlnx，则m′(x)＝1＋lnx，所以当x∈0，1e时，m′(x)<0；当x∈1e，＋∞时，m′(x)>0，故m(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而m(x)在(0，＋∞)上的最小值为m1e＝－1e.设函数h(x)＝xe－x－2e，x>0，则h′(x)＝e－x(1－x).所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.综上，当x>0时，m(x)>h(x)，即f(x)＋2ex>g(－x).样题3已知函数f(x)＝lnxx－k，(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；若f(x)≤0恒成立，则k≥lnxxmax，设g(x)＝lnxx(x>0)，g′(x)＝1－lnxx2，由g′(x)>0，得0<x<e；由g′(x)<0，得x>e，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，g(x)max＝g(e)＝1e，所以k≥1e.(2)证明：ln12＋ln13＋…＋ln1n<1e12＋13＋…＋1n(n>1).令k＝1e，则f(x)≤0，即lnxx≤1e，则lnx≤1e·x(当且仅当x＝e时等号成立)，因为ln12<1e·12，ln13<1e·13，…，ln1n<1e·1n，所以ln12＋ln13＋…＋ln1n<1e12＋13＋…＋1n(n>1).利用导数证明不等式问题的基本方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见...