板块一函数与导数微专题8不等式恒(能)成立问题高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，以解答题的形式出现，多为压轴题，难度较大.【难点突破】(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.高考真题f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，x∈[0，＋∞)，则f′(x)＝－aln(1＋x)－（a＋1）x1＋x，设g(x)＝－aln(1＋x)－（a＋1）x1＋x，则g′(x)＝－a1＋x－a＋1（1＋x）2.因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)＝0，f′(0)＝0，所以g′(0)＝－2a－1≥0，得a≤－12，故a≤－12是原不等式成立的一个必要条件.下面证明其充分性：当a≤－12，x≥0时，g′(x)≥12（1＋x）－12（1＋x）2＝x2（1＋x）2≥0，所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f′(x)≥f′(0)＝0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)＝0.综上，a的取值范围是－∞，－12.法一f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1＞0，ex－a＞0，所以f′(x)＞0，则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立.②当0＜a≤e2时，f′(x)≥0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0成立.样题1已知函数f(x)＝(x－2)ex－12ax2＋ax(a∈R)，当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.③当a＞e2时，当x∈(2，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(2，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意.综上，a的取值范围是(－∞，e2].法二当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－12ax2＋ax≥0恒成立，即12x2－xa≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立.当x＝2时，0·a≤0，此时a∈R.当x＞2时，12x2－x＞0，所以a≤（x－2）ex12x2－x＝2exx恒成立.设g(x)＝2exx，则g′(x)＝2（x－1）exx2，因为x＞2，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞g(2)＝e2，所以a≤e2.综上，a的取值范围是(－∞，e2].样题2已知a≥1，函数f(x)＝4lnx－ax＋a＋3x，g(x)＝2ex－4x＋2a，若存在x1，x2∈12，2，使得f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围.f′(x)＝－ax2＋4x－（a＋3）x2(x>0)，令h(x)＝－ax2＋4x－(a＋3)，x>0，又已知a≥1，则Δ＝16－4a2－12a＝－4(a－1)(a＋4)≤0，∴h(x)≤0，即f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴当a≥1时，f(x)在12，2上单调递减，∴f(x)在12，2上的最大值为f12＝－4ln2＋32a＋6.g′(x)＝2ex－4，令g′(x)＝0，得x＝ln2，当x∈12，ln2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(ln2，2]时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)在12，2上的最小值为g(ln2)＝4－4ln2＋2a，由题意可知－4ln2＋32a＋6>4－4ln2＋2a，解得a<4，又 a≥1，∴实数a的取值范围为[1，4).已知函数f(x)＝x(lnx＋1).若f(x)≥－x2＋(m＋1)x－2恒成立，求实数m的取值范围.f(x)≥－x2＋(m＋1)x－2，即mx≤xlnx＋x2＋2.样题3因为x>0，所以m≤lnx＋x＋2x在(0，＋∞)上恒成立.令h(x)＝lnx＋x＋2x，则m≤h(x)min，h′(x)＝1x＋1－2x2＝（x＋2）（x－1）x2，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝－2(舍去).当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增.故h(x)min＝h(1)＝3，所以m≤3，即实数m的取值范围为(－∞，3].1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略(1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围.2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解两类问题的差别.规律方法训练已知函数f(x)＝lnx－a(x－1)，a∈R，当x∈[1，＋∞)时，f(x)≤lnxx＋1恒成立，求a的取值范围.f(x)－lnxx＋1＝xlnx－a（x2－1）x＋1，构造函数g(x)＝xlnx－a(x2－1)(x≥1)，g′(x)＝lnx＋1－2ax，令F(x)＝g′(x)＝lnx＋1－2ax，F′(x)＝1－2axx.①若a≤0，则F′(x)>0，g′(...