板块一函数与导数微专题9导数与函数的零点高考定位导数与函数的零点问题是高考的热点题型和常见题型：(1)判断、证明或讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质的研究.【难点突破】高考真题(2022·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ax－1x－(a＋1)lnx.若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.由f(x)＝ax－1x－(a＋1)lnx(x＞0)，得f′(x)＝a＋1x2－a＋1x＝（ax－1）（x－1）x2(x＞0).当a＝0时，f′(x)＝1－xx2，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－1<0，所以f(x)不存在零点；当a＜0时，f′(x)＝a（x－1a）（x－1）x2，若x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；若x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0，所以f(x)不存在零点；当a＞0时，f′(x)＝a（x－1a）（x－1）x2，当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝a－1＝0，所以函数f(x)恰有一个零点，即a＝1满足条件；当a＞1时，0＜1a＜1，故f(x)在(0，1a)，(1，＋∞)上单调递增，在(1a，1)上单调递减.因为f(1)＝a－1＞0，所以f(1a)＞f(1)＞0，当x→0＋时，f(x)→－∞，由零点存在定理可知f(x)在(0，1a)上必有一个零点，所以a＞1满足条件；当0＜a＜1时，1a＞1，故f(x)在(0，1)，(1a，＋∞)上单调递增，在(1，1a)上单调递减.因为f(1)＝a－1＜0，所以f(1a)＜f(1)＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，由零点存在定理可知f(x)在(1a，＋∞)上必有一个零点，即0＜a＜1满足条件；综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，＋∞).(2024·渭南质检改编)已知函数f(x)＝ex－4sinx，其中e为自然对数的底数，证明：f(x)在[0，＋∞)上有两个零点.样题1设g(x)＝f′(x)＝ex－4cosx，则g′(x)＝ex＋4sinx.显然当x∈[0，π]时，g′(x)>0，当x∈[π，＋∞)时，g′(x)>eπ－4>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(0)＝－3<0，f′π3＝eπ3－2>0，所以存在唯一x0∈0，π3，使f′(x0)＝0.则当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.因为f(0)＝1>0，fπ4＝eπ4－22<e－22<0，f(π)＝eπ>0，所以f(x)在[0，＋∞)上有两个零点.已知函数f(x)＝elnx＋bx2e1－x.若f(x)的导函数f′(x)恰有两个零点，求b的取值范围.样题2f′(x)＝ex＋bx(2－x)e1－x＝0得，exx＝bx(x－2).显然x≠2，x>0.因此exx2（x－2）＝b.令g(x)＝exx3－2x2，x>0且x≠2，则g′(x)＝（x2－5x＋4）xex（x3－2x2）2，解方程x2－5x＋4＝0得，x1＝4，x2＝1，因此函数g(x)在(0，1)和(4，＋∞)上单调递增，在(1，2)和(2，4)上单调递减，且极大值为g(1)＝－e，极小值为g(4)＝e432.g(x)的大致图象如图所示.由图象可知，当b>e432或b<－e时，直线y＝b与曲线y＝g(x)的图象分别有两个交点，即函数f′(x)恰有两个零点.故b的取值范围是(－∞，－e)∪e432，＋∞.样题3已知函数f(x)＝x2ex－alnx，a≠0，若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围.因为f(x)＝x2ex－alnx在(1，e)上有零点，所以方程x2exlnx＝a在(1，e)上有解.设h(x)＝x2exlnx，则h′(x)＝x·（2lnx－xlnx－1）ex（lnx）2且xex（lnx）2>0.设n(x)＝lnx－x＋1⇒n′(x)＝1－xx，当x>1时，n′(x)<0，n(x)单调递减；当0<x<1时，n′(x)>0，n(x)单调递增，故当x＝1时，函数n(x)有最大值n(1)＝0，因此有n(x)＝lnx－x＋1≤0⇒lnx≤x－1.设j(x)＝2lnx－xlnx－1，则j(x)≤2(x－1)－xlnx－1＝2x－xlnx－3.设k(x)＝2x－xlnx－3，则在区间(1，e)上，k′(x)＝1－lnx>0，k(x)单调递增，k(x)<k(e)＝e－3<0，故j(x)≤k(x)<e－3<0，即h′(x)<0，h(x)单调递减，所以在区间(1，e)上，h(x)的值域为(e2－e，＋∞)，所以实数a的取值范围是(e2－e，＋∞).1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；第三步：结...
