板块二三角函数与平面向量微专题13解三角形高考定位应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.【真题体验】√1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝π3，b2＝94ac，则sinA＋sinC＝A.23913B.3913C.72D.31313由正弦定理得94sinAsinC＝sin2B，因为B＝π3，所以sinAsinC＝49sin2B＝13.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝94ac，所以a2＋c2＝134ac，所以sin2A＋sin2C＝134sinAsinC，所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝214sinAsinC＝74，又sinA>0，sinC>0，所以sinA＋sinC＝72.故选C.2.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.22由题意得S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×12＝8，则b＝22.3.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝2cosB，a2＋b2－c2＝2ab.(1)求B；由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，又0<C<π，∴C＝π4，∴2cosB＝sinC＝22，∴cosB＝12.又0<B<π，∴B＝π3.(2)若△ABC的面积为3＋3，求c.由(1)得A＝π－B－C＝5π12，由正弦定理asinA＝csinC，得a2＋64＝c22，∴a＝1＋32c.∴△ABC的面积S＝12acsinB＝1＋34c2×32＝3＋3，解得c＝22.精准强化练热点一利用正、余弦定理求边或角热点二三角形的面积问题热点三解三角形的实际应用热点突破热点一利用正、余弦定理求边或角1.正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB,c＝2RsinC，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.例1(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2.(1)求A；由sinA＋3cosA＝2，得12sinA＋32cosA＝1，所以sinA＋π3＝1.因为0<A<π，所以π3<A＋π3<4π3，所以A＋π3＝π2，故A＝π6.(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周长.由2bsinC＝csin2B，得2bsinC＝2csinBcosB，由正弦定理，得2bc＝2cbcosB，所以cosB＝22，因为0<B<π，所以B＝π4.C＝π－(A＋B)＝7π12，所以sinC＝sin7π12＝sinπ3＋π4＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4＝32×22＋12×22＝6＋24.由正弦定理得b＝asinBsinA＝2sinπ4sinπ6＝22，c＝asinCsinA＝2sin7π12sinπ6＝6＋2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋6＋32.当题目条件中出现边和角的“混和体”时有两种方案：(1)全部统一为角，将“边的齐次式”中的边直接化为对应角的正弦；(2)全部统一为边，利用正、余弦定理将角转化为边，最后用因式分解等代数技巧化简即可.规律方法训练1√(1)(2024·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC＝b，则A＝A.π6B.π4C.π3D.π2由acosC＋3asinC＝b以及正弦定理可得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB，因sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，代入整理得3sinAsinC－cosAsinC＝0，因为0<C<π，sinC>0，则得tanA＝33，又因为0<A<π，故A＝π6.√(2)(2024·绵阳诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1tanA＋1tanB＝1tanC，则a2＋b2c2＝A.1B.2C.3D.4因为1tanA＋1tanB＝1tanC，所以cosAsinA＋cosBsinB＝cosCsinC，由正弦定理得cosAa＋cosBb＝cosCc，由余弦定理的推论得b2＋c2－a22abc＋a2＋c2－b22abc＝a2＋b2－c22abc，整理得a2＋b2＝3c2，即a2＋b2c2＝3.故选C.热点二三角形的面积问题三角形的面积公式设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r.(1)S＝12ah(h为BC边上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12(a＋b＋c)r(r为△ABC内切圆的半径)；(4)S＝p（p－a）（p－b）（p－c）p＝12（a＋b＋c）.例2(2024·阜阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边...