板块三数列微专题18等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，难度中档以下.【真题体验】1.(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝A.120B.85C.－85D.－120√设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则a1（1－q4）1－q＝－5，a1（1－q6）1－q＝21×a1（1－q2）1－q，化简整理得q2＝4，a11－q＝13，所以S8＝a1（1－q8）1－q＝13(1－44)＝－85，故选C.2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝√A.72B.73C.－13D.－711由S5＝S10，得5（a1＋a5）2＝10（a1＋a10）2，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝a8－a58－5＝－13，所以a1＝a5－4d＝1－4×－13＝73，故选B.3.(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________.95法一设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95.法二设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝a5－a25－2＝3，a6＝11，则S10＝a1＋a102×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95.4.(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{Sn}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.若①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以Sn＝na1，所以Sn＋1－Sn＝(n＋1)a1－na1＝a1(常数)，所以数列{Sn}是等差数列.若①②⇒③.已知{an}是等差数列，{Sn}是等差数列.设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2n.因为数列{Sn}是等差数列，所以数列{Sn}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.若②③⇒①.已知数列{Sn}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{Sn}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以Sn＝S1＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{an}是等差数列.精准强化练热点一等差、等比数列的基本运算热点二等差、等比数列的性质热点三等差、等比数列的证明热点突破热点一等差、等比数列的基本运算1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.3.等差数列的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.4.等比数列的前n项和公式：Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.(1)(2024·北京海淀区模拟)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为A.4B.5C.6D.7例1√由已知a1＝2a2＝2(a1＋d)，得a1＝－2d，又Sm＝ma1＋m（m－1）2d＝－2md＋m（m－1）2d＝0，又d≠0，所以－2m＋m（m－1）2＝0，解得m＝5或m＝0(舍去)，故选B.111.1(2)(2024·宁波调研)公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.比赛开始后，当阿基里斯跑了1000米时，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米，……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为________米.根据题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，且a1＝100，q＝110，an＝110，所以乌龟爬行的总距离为Sn＝a1－anq1－q＝100－10－1×1101－110＝104－190＝111.1.等差、等比数列的基本量问题的求解(1)抓...